编程技巧--位运算的巧妙运用
“写程序，位运算是必要的吗？”
这个问题问的好，其实位运算并不是必要的，有什多方法可以可以代替位运算，但是位运算其特有的对程序的优化特点是无法替代的！当然如果你在写Windows应用程序，其中调用的一些Windows APi 你就必须用到位运算，如最简单的MessageBox。当然其中牵扯到的位运算过于简单，就是简单的或运算。想想当初写的第一个windows程序用到MessageBox竟然出现了一个windows窗口，而不是那黑糊糊的Console，让我兴奋了还一段时间！可是当时的我也不知道这里面牵扯的很多知识，甚至什么是API都不知道！
我们在学习C/C++的时候书本上对位运算的相关知识讲得很少，就是简单的“或与非”。如果你的记性好那么你还会记得在位运算中还有一个运算叫做 “异或”运算和移位运算。不知道你现在对位运算的基础是否还清楚，我在这里假设我们都忘了位运算的基础，所以下面我们对位运算进行复习一下。
C/C++语言提供的位运算符有：
| 运算符 | 含义 | 功能 |
| & | 按位与 | 如果两个相应的二进制位都为１，则该位的结果值为１；否则为０。 |
| | | 按位或 | 两个相应的二进制位中只要有一个为１，该位的结果值为１。 |
| ∧ | 按位异或 | 若参加运算的两个二进制位同号则结果为０（假）异号则结果为１（真） |
| ～ | 取反 | ～是一个单目（元）运算符，用来对一个二进制数按位取反，即将０变１，将１变０。 |
| << | 左移 | 左移运算符是用来将一个数的各二进制位全部左移N位，右补０。 |
| >> | 右移 | 表示将a的各二进制位右移N位，移到右端的低位被舍弃,对无符号数,高位补0。 |
位运算的结果演示：
| 位运算 | 或 “|” or | 与 “&”and | 非 “~” not | 异或 “^” xor |
| 操作数1 | 01010101 | 11010101 | 10101010 | 10000001 |
| 操作数2 | 00101010 | 10101010 | (无) | 01111111 |
| 也能算结果 | 01111111 | 10000000 | 01010101 | 11111110 |
好了看了上面的两个表格，相信你已经对位运算有所了解了，那么接下来，我们就来讲讲位运算的应用。
1、 用于整数的奇偶性判断
想想，我们要判断一个数的奇偶性，在没用位运算之前我们可以用下列的代码来实现：
- template<class Type>
- bool Parity(Type value)
- {
- if(value % 2 == 0)
- return false;
- else
- return true;
- }
- //加以优化
- template<class Type>
- inline bool Parity(Type value)
- {
- return (value % 2 != 0);
- }
要知道，上面的代码我们使用的是对2取余，如果操作数value是小数的话，还勉强行得通，但是value是一个上百万的大数，那么这就白白浪费了CPU的大量时间，程序的效率和性能就很差。我们知道任何数在计算机储存中都是以二进制储存的，细心的你就会发现在二进制的最小一位有个特点，为0就是偶数，为1就是奇数，按照这个原理我们根本没必要让我们的CPU大哥白白做那么多的工作，只要一步判断就可以了。接下来就让我们看看位运算的精妙之处！
那么我们的目的就是判断最小位是0还是1，可是我们怎么判断呢？我们要用位运算阿里判断，就是与或非。在上面的复习之中我们只说了位运算的计算方法，并没有说其用处。那么在这里我们用到的就是“与”！与运算特有的一个功能就是判断指定位上的值（0或1）。我们来看下面的表格（与运算）。
| 操作数1 | 10101010 | 01010101 | 11111111 | 11111110 |
| 操作数2 | 00000001 | 00000001 | 00000001 | 00000001 |
| 运算结果 | 00000000 | 00000001 | 00000001 | 00000000 |
我们要注意一下这里的 操作数2 ，它只有最低位是1，其余位都是0，这就是关键所在，操作数1是随机值。我们看看结果只会有两种结果：0或1。这个结果就取决于操作数1的最低位，它为1时就为1，为0时就为0.
“那么我要判断的是第二位呢？”
好！那我们就把操作数2改为 00000010 那么结果就只会有 00000000 或 00000010 其结果取决于第二位。
有了这个基础那么我们来看看怎么用位运算判断奇偶性吧：
- template<class Type>
- bool Parity(Type value)
- {
- if(value & 0x0001 == 0)
- return false;
- else
- return true;
- }
- //加以优化
- template<class Type>
- inline bool Parity(Type value)
- {
- return (value & 1 != 0);
- }
- //在简化
- #define PARITY(value) (value&1)
使用a%2来判断奇偶性和a & 1是一样的作用，但是a & 1要快好多。
2、 判断n是否是2的正整数冪
所谓2的正整数冪就是指 2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2018.............等数字，若何判断一个数是否是这样的数呢？我们看看不用位运算的计算方法：
- #include "math.h"
- template<class Type>
- bool IsPowerOfTwo(Type value)
- {
- for(int i = 0,l = 8*sizeof(value); i < l ;i++)
- {
- if(pow(2,i) == value)
- {
- return true;
- }
- }
- return false;
- }
在这个算法中，我们使用了一个循环。其原理非常简单就是一一的对比，但是其中还调用了数学函数库，效率大大降低。接下来我们讲讲怎样用位运算来判断。我们首先要研究一下这些数的特性，请看下表（与运算）：
| 2的幂 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| n | 00001000 | 00010000 | 00100000 | 01000000 |
| n-1 | 00000111 | 00001111 | 00011111 | 00111111 |
| 与结果 | 00000000 | 00000000 | 00000000 | 00000000 |
我们发现 n&（n-1） = 0 我们可以 用逻辑非 ！（n&（n-1）） = 1 。那是不是这样就可以了呢，你会发现 ！（0&（0-1）） = 1 但是 0并不是 2的正整数冪。我们可以用 逻辑与 ！（n&（n-1）） && n = 1;请看下面的代码：
- template<class Type>
- inline bool IsPowerOfTwo(Type value)
- {
- if((!(n&(n-1)) ) && n == 1)
- return true;
- else
- return false;
- }
- //简化
- #define ISPOWEROFTWO(n) ((!(n&(n-1)) ) && n)
3、 统计n中1的个数
朴素的统计办法是：先判断n的奇偶性，为奇数时计数器增加1，然后将n右移一位，重复上面步骤，直到移位完毕。
- template<class Type>
- inline bool Parity(Type value)
- {
- return (value % 2 != 0);
- }
- template<class Type>
- inline int CountOne(Type value)
- {
- if(value != 0)
- {
- return Parity(value) + CountOne(value >> 1);
- }
- return 0;
- }
朴素的统计办法是比较简单的，那么我们来看看比较高级的办法。
举例说明，
考虑2位整数 n=11，里边有2个1，先提取里边的偶数位10，奇数位01，把偶数位右移1位，然后与奇数位相加，因为每对奇偶位相加的和不会超过“两位”，所以结果中每两位保存着数n中1的个数；
相应的如果n是四位整数 n=0111，先以“一位”为单位做奇偶位提取，然后偶数位移位（右移1位），相加；再以“两位”为单位做奇偶提取，偶数位移位（这时就需要移2位），相加，因为此时没对奇偶位的和不会超过“四位”，所以结果中保存着n中1的个数;
依次类推可以得出更多位n的算法。整个思想类似分治法。
在这里就顺便说一下常用的二进制数：
| 二进制数 | 二进制值 | 用处 |
| 0xAAAAAAAA | 10101010101010101010101010101010 | 偶数位为1，以1位为单位提取奇位 |
| 0x55555555 | 01010101010101010101010101010101 | 奇数位为1，以1位为单位提取偶位 |
| 0xCCCCCCCC | 11001100110011001100110011001100 | 以“2位”为单位提取奇位 |
| 0x33333333 | 00110011001100110011001100110011 | 以“2位”为单位提取偶位 |
| 0xF0F0F0F0 | 11110000111100001111000011110000 | 以“8位”为单位提取奇位 |
| 0x0F0F0F0F | 00001111000011110000111100001111 | 以“8位”为单位提取偶位 |
| 0xFFFF0000 | 11111111111111110000000000000000 | 以“16位”为单位提取奇位 |
| 0x0000FFFF | 00000000000000001111111111111111 | 以“16位”为单位提取偶位 |
例如：32位无符 号数的1的个数可以这样数：
- int CountOne(unsigned long n)
- {
- //0xAAAAAAAA，0x55555555分别是以“1位”为单位提取奇偶位
- n = ((n & 0xAAAAAAAA) >> 1) + (n & 0x55555555);
- //0xCCCCCCCC，0x33333333分别是以“2位”为单位提取奇偶位
- n = ((n & 0xCCCCCCCC) >> 2) + (n & 0x33333333);
- //0xF0F0F0F0，0x0F0F0F0F分别是以“4位”为单位提取奇偶位
- n = ((n & 0xF0F0F0F0) >> 4) + (n & 0x0F0F0F0F);
- //0xFF00FF00，0x00FF00FF分别是以“8位”为单位提取奇偶位
- n = ((n & 0xFF00FF00) >> 8) + (n & 0x00FF00FF);
- //0xFFFF0000，0x0000FFFF分别是以“16位”为单位提取奇偶位
- n = ((n & 0xFFFF0000) >> 16) + (n & 0x0000FFFF);
- return n;
- }
看起来似乎采用位运算的代码比朴素方法代码要复杂的多，但是在性能上有着朴素方法无法比拟的优越性，只要四步简单的运算就能达到目的，而朴素方法不是用循环就是递归，这大大降低了CPU的运算性能。
4、对于正整数的模运算（注意，负数不能这么算）
先说下比较简单的：
乘除法是很消耗时间的，只要对数左移一位就是乘以2，右移一位就是除以2，据说用位运算效率提高了60%。
乘2^k 众所周知： n<<k。所以你以后还会傻傻地去敲2566*4的结果10264吗？直接2566<<4就搞定了，又快又准确。
除2^k众所周知： n>>k。
那么 mod 2^k 呢？（对2的倍数取模）
n&((1<<k)-1)
用通俗的言语来描述就是,对2的倍数取模，只要将数与2的倍数-1做按位与运算即可。
好！方便理解就举个例子吧。
思考：如果结果是要求模2^k时，我们真的需要每次都取模吗？
在此很容易让人想到快速幂取模法。
快速幂取模算法
经常做题目的时候会遇到要计算 a^b mod c 的情况，这时候，一个不小心就TLE了。那么如何解决这个问题呢？位运算来帮你吧。
首先介绍一下秦九韶算法：(数值分析讲得很清楚)
把一个n次多项式f(x) = a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改写成如下形式：
f(x) = a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+......+a[1]x+a[0]
= (a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a[0]
= ((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0]
=. .....
= (......((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0].
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
v[1]=a[n]x+a[n-1]
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v[2]=v[1]x+a[n-2]
v[3]=v[2]x+a[n-3]
......
v[n]=v[n-1]x+a[0]
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。
好！有了前面的基础知识，我们开始解决问题吧
由(a × b) mod c=( (a mod c) × b) mod c.
我们可以将 b先表示成就：
b = a[t] × 2^t + a[t-1]× 2^(t-1) + …… + a[0] × 2^0. (a[i]=[0,1]).
这样我们由 a^b mod c = (a^(a[t] × 2^t + a[t-1] × 2^（t-1） + …a[0] × 2^0) mod c.
然而我们求 a^( 2^(i+1) ) mod c=( (a^(2^i)) mod c)^2 mod c .求得。
具体实现如下：
使用秦九韶算法思想进行快速幂模算法，简洁漂亮
// 快速计算 (a ^ p) % m 的值
- __int64 FastM(__int64 a, __int64 p, __int64 m)
- {
- if (p == 0) return 1;
- __int64 r = a % m;
- __int64 k = 1;
- while (p > 1)
- {
- if ((p & 1)!=0)
- {
- k = (k * r) % m;
- }
- r = (r * r) % m;
- p >>= 1;
- }
- return (r * k) % m;
- }
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3070
5、计算掩码
比如一个截取低6位的掩码：0×3F
用位运算这么表示：(1 << 6) - 1
这样也非常好读取掩码，因为掩码的位数直接体现在表达式里。
按位或运算很简单，只要a和b中相应位出现1，那么a|b的结果相应位也为1。就不多说了。
6、子集
枚举出一个集合的子集。设原集合为mask，则下面的代码就可以列出它的所有子集：
for (i = mask ; i ; i = (i - 1) & mask) ;
很漂很漂亮吧。