LCA （离线Tarjan && 在线倍增发）

LCA （离线Tarjan && 在线倍增发）

最近公共祖先( Least Common Ancestors) :

对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。另一种理解方式是把T理解为一个无向无环图，而LCA(T,u,v)即u到v的最短路上深度最小的点。

解决LCA问题常用的有两种方法，一种是离线的Tarjan算法，时间复杂度为O(n+m),其中n为节点数(或边数，因为一个含有n个节点的树一定只有n-1条边),m为问题数。另外一种是在线的倍增法，时间复杂度为O(lg(m*n))。还有的就是最为朴树的算法，时间复杂度为
O(m*n)。

1、朴树的LCA算法：
   此种方法很好理解，首先建好一棵树，然后对于给定的问题：(x, y)求解(x,y)的最近公共祖先。可以在建树的过程中记录每个节点的深度，记录在数组d[1-n]中。 对于给定的节点(x,y)，如果d[x] < d[y]，那么交换x和y，保证d[x]   ≥ d[y]，然后调整x，使d[x] = d[y]。这时x和y相当于处于同一高度。判断x和y的值，如果x=y，那么y就是x和y的最近公共祖先。