二分图最大匹配--匈牙利算法

二分图是什么就不啰嗦了。

匈牙利算法的核心就是：不断地找一条增广路径（增广路的定义(也称增广轨或交错轨)： 若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。（M为一个匹配）），然后反转这条路径，则匹配的边就会增加1

C语言代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
 
bool g[201][201];
int n,m,ans;
bool b[201];
int link[201];
 
bool init()
{
        int _x,_y;
        memset(g,0,sizeof(g));
        memset(link,0,sizeof(link));
        ans=0;
        if(scanf("%d%d",&n,&m)==EOF)return false;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
                scanf("%d",&_x);
                for(int j=0;j<_x;j++)
                {
                        scanf("%d",&_y);
                        g[ i ][_y]=true;
                }
        }
        return true;
}
 
bool find(int a)
{
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
                if(g[a][ i ]==1&&!b[ i ])
                {
                        b[ i ]=true;
                        if(link[ i ]==0||find(link[ i ]))
                        {
                                link[ i ]=a;
                                return true;
                        }
                }
        }
        return false;
}
 
int main()
{
        while(init())
        {
                for(int i=1;i<=n;i++)
                {
                        memset(b,0,sizeof(b));
                        if(find(i))ans++;
                }
                printf("%d\n",ans);
        }
}

http://course.cug.edu.cn/21cn/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%EF%BC%88%E5%8C%97%E5%A4%A7%EF%BC%89/part4/chapter18/18_03_02_01.htm

二、Hall定理

　 定理18.5 ( Hall定理 )设二部图G＝<V ₁ ，V ₂ ，E>中，|V ₁ |≤|V ₂ |. G中存在从V ₁ 到V ₂ 的完备匹配当且仅当V ₁ 中任意k(k＝1，2，…, |V ₁ |)个顶点至少与V ₂ 中的k个顶点相邻。

　　本定理中的条件常称为“相异性条件”。

　　证 定理的必要性显然。下面证明充分性，即证明只要满足相异性条件，G中最大匹配一定是完备匹配。设M为G中一个最大匹配。若M不是完备匹配，必存在v_x∈V₁为M的非饱和点。且必存在e∈E₁＝E－M与v_x关联，否则v_x将是孤立点，这与相异性条件矛盾。并且V₂中与v_x相邻的顶点都是M－饱和点，若存在v_y∈V₂ (与v_x相邻)为非饱和点，则M'＝M∪(v_x,v_y)也是匹配，这显然与M为最大匹配矛盾。考虑从v_x出发的尽可能长的所有交错路径，由于M是最大匹配，又由定理18.4可知，这些交错路径都不是可增广的，即每条路径异于v_x的端点一定是M－饱和点，于是这些端点全在V₁中，令

　　　　S＝{v|v∈V₁且v在从v_x出发的交错路径上}
　　　　T＝{v|v∈V₂且v在从v_x出发的交错路径上}

由于各条交错路径的两个端点全在S中，所以|S|＝|T|+1. 这正说明V ₁ 中|T|+1个顶点只与V ₂ 中|T|个顶点相邻，这矛盾于相异性条件，因而V ₁ 中不可能存在M－非饱和点，故M是完备匹配。

　　图18.4(3)中，存在着V₁中的两个顶点只与V₂中的一个顶点相邻，因而不满足相异性条件，于是(3)中不存在完备匹配。而(1)，(2)均满足相异性条件，因而都存在完备匹配。

　　由定理18.5还可以得出下面定理。

　定理18.6 设二部图G＝<V₁，V₂，E>中，V₁中每个顶点至少关联t(t≥1)条边，而V₂中每个顶点至多关联t条边，则G中存在V₁到V₂的完备匹配。

　　证 由定理中的条件可知，V₁中任意k(1≤k≤|V₁|)个顶点至少关联kt条边，而因为V₂中每个顶点至多关联t条边，所以这kt条边至少关联V₂中k个顶点，这正说明G满足相异性条件，因而G中存在完备匹配。

　　常称定理18.6中的条件为t条件。图18.4中，(2)满足t＝2的t条件，当然存在完备匹配，而在(1)中不满足t条件，但因它满足相异性条件，所以才存在完备匹配。