sicp 1.16解答

    此题充分展示了如何将递归转化为迭代的技巧：定义一个不变量，要求它在迭代状态之间保持不变！题目如下：
写一个过程求平方，并且只用对数个步骤。

解答：
考虑一个附加状态a，如何保持ab**n(b**n表示b的n次方）在状态改变间保持不变.
1)当n是偶数：
a(b ²) ^n/2 = ab ⁿ
b ⁿ = (b ^n/2) ² = (b ²) ^n/2
在这个过程中回溯状态的迁移：

    a ← a

    b ← b2

    n ← n / 2

2)当n是奇数：
(ab)b ^(n-1) = ab ⁿ
回溯状态的变迁：

    a ← a  *  b

    b ← b

    n ← n - 1

就此可以写出lisp过程了:

(define (even ?  n) ( =  (remainder n  2 )  0 ))
(define (square n) ( *  n n))
(define (fast - expr b n)
  (define (iter a b n)
    (cond (( =  n  0 ) a)
          ((even ?  n) (iter a (square b) ( /  n  2 )))
          ( else  (iter ( *  a b) b ( -  n  1 )))))
  (iter  1  b n))

这道题目一开始我的解答完全错了！-_-，我理解错了题意，一直将指数对半折，这样的步骤是n/2步而不是对数步骤，阶仍然是(theta)(n)：

(define (fast - expt - iter b product counter)
  (cond (( =  counter  0 ) product)
    ((even ?  counter) (fast - expt - iter b ( *  (square b) product) ( *   2  ( -  ( /  counter  2 )  1 )))) 
    
    ( else
      ( *  b (fast - expt - iter b product ( -  counter  1 )))
  )))
(define (fast - exptt b n)
  (fast - expt - iter b  1  n))