TJU_OI 1140 箱里的钥匙

TJU_OI 1140 箱里的钥匙

1140.  箱里的钥匙

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有N个编号为1到N的箱子和N个编号为1到N的钥匙，第i号钥匙只能用来打开第i号箱子。现在我们随机地将一把钥匙锁进一个箱子里，即每个箱子里都恰好有 一把钥匙，保证所有的情况都等可能性地出现。现在你有M个炸弹，每个炸弹可以用来炸开一个箱子，一旦你把某个箱子打开，你就可以取出其中的钥匙，从而有可 能用这钥匙打开更多的箱子。你的策略很简单，当没有箱子可以打开时，随便选一个箱子，用炸弹炸开它，取出钥匙并继续打开尽可能多的箱子，直至没有箱子可以 打开，然后继续使用下一颗炸弹。

现给定N，你的任务是求出你可以取得所有钥匙的概率。这个概率必须输出成分数“A/B”的形式，A和B都是正整数且公约数必须为1。

输入格式

输入一行，包含空格隔开的两个数N和M

输出格式

输出为A/B的形式。

输入样例

3 1

输出样例

1/3

数据规模与约定

1 ≤ N ≤ 20, 1 ≤ M ≤ N

解析:
这个题目基本上就是一个数学题,涉及到第一类stirling数的求解.
所谓 第一类stirling数,例如S[n,k]表示 将一个大小为n的集合分成k个部分,每个部分的元素个数不小于1,且形成环的 总方法数.
一个元素也算作单独的环.
容易的到
    S[1,1]=1;
    S[n,0]=0;
当n<k时,S[n,k]=0;
对合法的n,k,满足: S[n,k]=S[n-1,k-1]+(n-1)*S[n-1,k];
把n当作钥匙(也即箱子)的个数,k为钥匙所放位置形成的"环",每破坏一个箱子,都可以得到该箱子所属环的所有钥匙,k表示实际的环的个数
当k>m时便不可能取得到所有的钥匙.
这样下面的代码就很好理解了.

 1  #include < iostream >
 2  using   namespace  std;
 3  const   int  MAXN = 30 ;
 4  template  < class  T >
 5  T Gcd(T a,T b)
 6  {
 7     return  ( ! a) ?  b : Gcd(b % a,a);
 8  }
 9 
10  int  main()
11  {
12    freopen( " box.in " , " r " ,stdin);
13    freopen( " box.out " , " w " ,stdout);
14     long   long  n,m,S[MAXN][MAXN];
15    cin  >>  n  >>  m;
16    memset(S, 0 , sizeof (S));
17    S[ 1 ][ 1 ] = 1 ;
18     for  ( int  i = 2 ;i <= n; ++ i)
19       for  ( int  j = 1 ;j <= i; ++ j)
20        S[i][j] = S[i - 1 ][j - 1 ] + (i - 1 ) * S[i - 1 ][j];
21     long   long  B = 1 ;
22     for  ( int  i = 2 ;i <= n; ++ i) B *= i;
23     long   long  A = B;
24     for  ( int  i = m + 1 ;i <= n; ++ i) A -= S[n][i];
25     long   long  G = Gcd(A,B);
26    cout  <<  A / G  <<   ' / '   <<  B / G  <<  endl;
27     return   0 ;
28  }
29