POJ 2387 Til the Cows Come Home 单源最短路（Bellman-ford算法）

POJ 2387 Til the Cows Come Home 单源最短路（Bellman-ford算法）

题目大意：求图上单点到单点之间的最短路。

题目分析：单源最短路问题是固定一个起点，求它到其他所有点的最短路的问题。终点也固定问题叫做两点之间最短路问题。但是因为单源最短路问题的复杂度是一样的，因此通常当作单源最短路问题来求解。

记从起点s出发到顶点i的最短距离为dist[i]。则下述等式成立。

dist[i] = min{dist[j]+(从j到i的边的权值)|e=(j,i)∈E}

如果给定的图是一个DAG，就可以按托不许给顶点编号，并利用这条递推关系计算出dist。但是，如果图中有圈，就无法利用这样的关系进行计算。

在这种情况下，记当前到顶点i的最短距离为dist[i]，并设初值dist[s]=0，dist[i]=INF（足够大的常数），再不断使用这条地推关系式更新dist值，就可以算出新的dist。

只要途中不存在负圈，这样的更新操作就是有限的。结束之后的最短操作就是所求的最短距离了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
using  namespace std;
#define INF (1<<29)
const  int maxn = 1010, maxm = 4040;

int n, m;

struct Edge {  int from, to, cost; } edge[maxm];
int V, E, dist[maxn];

void bellman_ford( int s) {
     for( int i=0;i<V;i++) dist[i] = INF;
    dist[s] = 0;
     while( true) {
         bool update =  false;
         for( int i=0;i<E;i++) {
            Edge e = edge[i];
             if(dist[e.from] != INF && dist[e.to] > dist[e.from] + e.cost) {
                dist[e.to] = dist[e.from] + e.cost;
                update =  true;
            }
        }
         if(!update)  break;
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d" , &m, &n);
    V = n; E = 2 * m;
     for( int i=0;i<E;i+=2) {
        Edge e;
         int from, to, cost;
        scanf("%d%d%d" , &from, &to, &cost);
        from --; to --;
        edge[i].from = from;
        edge[i].to = to;
        edge[i].cost = cost;
        edge[i+1].from = to;
        edge[i+1].to = from;
        edge[i+1].cost = cost;
    }
    bellman_ford(0);
    printf("%d", dist[n-1]);
     return 0;
}

这个算法叫做Bellman-Ford算法。如果在图中不存在从s可达的负圈，那么最短路不会经过同一个顶点两次（也就是说，最多通过|V|-1次），while(true)的循环最多经过|V|-1次，因此，复杂度是O(VE)。反之，如果存在从s可达的负圈，那么在第|V|次循环中也会更新dist的值，因此也可以用这个性质来检查负圈。如果一开始对所有的i，都把dist[i]设为0，那么可以检查出所有的负圈。

bool find_negetive_loop() {
    memset(dist, 0,  sizeof(dist));
    
     for( int i=0;i<V;i++) {
         for( int j=0;j<E;j++) {
             if(dist[e.to] > dist[e.from] + e.cost) {
                dist[e.to] = dist[e.from] + e.cost;
                 if(i == V-1)  return  true;
            }
        }
    }
     return  false;
}