《编程之美》读书笔记13： 4.1 金刚坐飞机问题

问题：

现在有一班飞机将要起飞，乘客们正准备按机票号码（1, 2, 3, …N）依次排队登机。突然来了一只大猩猩（对，他叫金刚）。他也有飞机票，但是他插队第一个登上了飞机，然后随意地选了一个座位坐下了1。根据社会的和谐程度，其他的乘客有两种反应：

1. 乘客们都义愤填膺，“既然金刚同志不遵守规定，为什么我要遵守？”他们也随意地找位置坐下，并且坚决不让座给其他乘客。

2. 乘客们虽然感到愤怒，但还是以“和谐”为重，如果自己的位置没有被占领，就赶紧坐下，如果自己的位置已经被别人（或者金刚同志）占了，就随机地选择另一个位置坐下，并开始闭目养神，不再挪动位置。

那么，在这两种情况下，第 i 个乘客（除去金刚同志之外）坐到自己原机票位置的概率分别是多少？

对问题一，每个人都是随机选择座位，任意一个人坐在指定座位的概率相同，因而第i个乘客坐在其座位的概率是 1/n。

对问题二，答案和金刚的原来座位编号有关。不妨先去除金刚的座位，将乘客（根据机票号）和剩下的座位，按原大小顺序从1开始重新编号。用F(i，n)表示在新排列中（共有n-1个乘客座位和金刚原来的座位），新的第i个乘客坐在其原来座位的概率，则在n个座位中：

① 金刚若挑自己的座位或选的座位在第i个座位后（共有n-i个座位满足这个条件），则第i个乘客肯定能坐到原来的座位；

② 金刚若挑选的座位在第i个座位前，不妨假设为j，则第j个乘客除非坐到金刚的座位，不然就会抢其他人的座位，因为他的行为和金刚相似，可以将他当做金刚处理。去除前j个座位，剩下的座位和乘客再按原大小排序重新从1开始编号，则先前的第i个乘客，其座位号变为i-j，新的总座位数变为n-j。因而可得公式：

用 G(i, n)表示原排列中，第i个乘客坐到自己座位的概率，假设金刚的座位编号为j。

若 i<j 则 G(i,n)=F(i,n)= (n-i)/(n+1-i)。

若 i>j 则 G(i,n)=F(i-1,n)= (n+1-i)/(n+2-i) 。

类似题：

“约瑟芬环：n个人，编号为0到n-1，围成一圈，从编号为0的开始，从1开始报数，所有报到m的出列，下一个人从1开始继续报数。求最后一个人的编号。”