USACO 5.4.1 All Latin Squares (拉丁方, DFS + 置换群剪枝)

USACO 5.4.1 All Latin Squares (拉丁方, DFS + 置换群剪枝)

预备知识：

对于一个n*n的拉丁方总数为N(k)。

当第一行为 1，2，……，n；第一列为1，2，……，n时， 拉丁方数为L(K)

存在如下公式：

N(K) = L(K) * N! * (N-1)!

说明：当L(k)确定后，第2到第你行的排列组成复合题意的拉丁方，所以乘以(n-1)!，第一到第N列的排列又是拉丁方，所以乘以 n!.

言归正传， 本题是第一行固定为1，2，……，n，第一列为1，2，……，n。所以求得L(K)乘以(n-1)!即可。

优化一：

置换群(by Maigo).   以5为例，  
 
1 2 3 4 5
2 1 4 5 3  置换圈(1,2) , (3,4,5) 最长长度为3

和

1 2 3 4 5
2 3 1 5 4 置换圈(4,5), (1,2,3) 最长长度为3

他们是等价的，只是数字先后顺序有变化，他们产生的结果是一致（要多多思考）。

参考 cmykrgb1 ，利用最长长度作为索引进行hash，即枚举到第二行最后一列后，计算置换圈的最长长度，若已计算出这个长度的拉丁方总数，则返回该长度的所有可能数。

优化二：都可以想到，枚举到第n-1行即可， 直接ans++。

/**/ /*
ID: lorelei3
TASK: latin
LANG: C++
*/

#include  < fstream >
#include  < memory.h >

using   namespace  std;

const   int  fact[]  =   {1,1,2,6,24,120,720} ;
const   int  MAXN  =   10 ;

ifstream fin( " latin.in " );
ofstream fout( " latin.out " );

int  n, id, cnt[MAXN], a[MAXN];
long   long  ans;
bool  row[MAXN][MAXN], col[MAXN][MAXN], v[MAXN];

void  find() {
    id=2;
    int l,t;
    memset(v, false, sizeof(v));
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        if(!v[i]){
            t=i; l=0;
            do{
                v[t]=true;
                t = a[t];
                l++;
            }while(!v[t]);
            if(l>id)
                id=l;
        }
}

void  dfs( int  x,  int  y) {

    for(int i=1; i<=n; ++i)
        if(row[x][i] && col[y][i]){
            if(x==2){
                a[y]=i;
                if(y==n){
                    find();
                    if(cnt[id]>0){
                        ans += cnt[id];
                        return;
                    }
                }
            }
            row[x][i]=false;
            col[y][i]=false;
            if(y==n){
                if(x==n-1){
                    cnt[id]++;
                    ans++;
                }else
                    dfs(x+1, 2);
            }else
                dfs(x, y+1);
            row[x][i]=true;
            col[y][i]=true;
        }
}

int  main() {
    fin>>n; 

    if(n==2)
        ans=1;
    else{
        int i;
        memset(row, true, sizeof(row));
        memset(col, true, sizeof(col));
        memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
        for(i=2; i<n; ++i) row[i][i]=false;
        for(i=1; i<=n; ++i) col[i][i]=false;
        ans=0;
        a[1]=2;
        dfs(2,2);
        ans *= fact[n-1];
    }

    fout<<ans<<endl;

    return 0;
}