无向连通图求割点割边

无向连通图求割点割边

不得不佩服Tarjan，果然是计算机领域的牛人
求无向图割点的算法其实比较容易理解，《算法导论》上思考题22-2有关于割点的讨论，其中有证明题：
1、如果对于无向连通图的DFS得来的生成树的根T是割点，当且仅当T至少有两个子女；
2、如果对于无向连通图的DFS得来的生成树的非根V是割点，当且仅当在生成树中V有一个孩子节点S，使得不存在从S或S的任何后裔节点指向V的某个真祖先顶点的反向边；
其实粗略证明并不难：
证明1：1）若T是割点，假设T仅有一个孩子节点t，则当去掉T节点之后，原生成树仍然为一颗树，根节点为t，可知去掉T之后的图仍然连通，与割点定义矛盾，因此如果T是割点，则T至少有两个孩子节点成立；2）若T有至少两个子女，则根据生成树由DFS得到可知，在原图中根节点的两个子树之间不存在连接边，因此当去掉根节点T后，两颗子树不能通过增加边形成一棵新的生成树，成为两棵独立的生成树，因此可知原图不在连通，所以由割点定义知T为割点；证毕。
证明2：1）若非根V是割点，假设生成树中V的所有孩子节点Si，使得任意Si及其Si的后裔节点都存在指向V的某个真祖先顶点的反向边，那么，当去掉节点V之后，生成树中V节点的子树可以通过连接反向边形成一棵新的生成树，则原图在去掉V节点后仍然连通，与V是割点矛盾，因此若对于无向连通图的DFS得来的生成树的非根V是割点，则在生成树中V有一个孩子节点S，使得不存在从S或S的任何后裔节点指向V的某个真祖先顶点的反向边成立；2）若在生成树中V有一个孩子节点S，使得不存在从S或S的任何后裔节点指向V的某个真祖先顶点的反向边，则生成树中V的一孩子节点S为根的子树，在去掉V节点之后不能通过增加指向真祖先顶点的方向边形成一棵去掉V节点后的新图的生成树，则原图在去掉V节点后成为不连通的图，则V是割点，成立；证毕。

有了上面的理论保证，则求割点的算法就不难了：
1）对连通图进行DFS，遍历过程中记录所有节点的深度值depth，并且对节点Vi记录下Vi自身及其Vi所有子孙节点见过的深度最浅的深度值low（不包括节点本身的父节点）；
2）如果Vi节点不为根节点，则如果Vi存在某个儿子节点，其见过的深度最浅的深度值要大于节点Vi的深度值，则Vi为割点；
3）如果Vi为根节点，则如果Vi有两个及其以上的子女，则Vi为割点；

代码如下：

  1 #include <cstdio>
  2 #include <vector>
  3 
  4  #define IntVector std::vector<int>
  5  #define min(x, y) ((x) > (y) ? (y) : (x))
  6  #define MAXN 105
  7  #define ROOT 1
  8  #define WHITE 0
  9  #define GREY 1
 10  #define BLACK 2
 11 
 12  struct Node {
 13   IntVector nbs;
 14    int parent;
 15    int depth;
 16    int low;
 17    int color;
 18 };
 19 
 20 Node node[MAXN];
 21  int flag[MAXN];
 22  int Nnode;
 23  int CPCount;
 24  int ChildrenOfRoot;
 25 
 26  void Init() {
 27    int i;
 28    for (i = 0; i < MAXN; ++i) {
 29     flag[i] = 0;
 30     node[i].nbs.clear();
 31     node[i].parent = -1; // 父亲节点
 32      node[i].depth = -1; // 深度
 33      node[i].low = -1; // 子孙节点见到的depth最小的节点号
 34      node[i].color = WHITE;
 35   }
 36   CPCount = 0;
 37   ChildrenOfRoot = 0;
 38 }
 39 
 40  void Output() {
 41   printf("%d\n", CPCount);
 42 }
 43 
 44  int TarjanDFS( int CurNode,  int Parent,  int Depth) {
 45    int i;
 46   node[CurNode].parent = Parent;
 47   node[CurNode].color = GREY;
 48   node[CurNode].depth = node[CurNode].low = Depth;
 49    for (i = 0; i < node[CurNode].nbs.size(); ++i) {
 50      if (node[CurNode].nbs[i] == Parent) {
 51        continue;
 52     }
 53      if (node[node[CurNode].nbs[i]].color == GREY) {
 54       node[CurNode].low = min(node[node[CurNode].nbs[i]].depth,
 55       node[CurNode].low);
 56     }  else  if (node[node[CurNode].nbs[i]].color == WHITE) {
 57       TarjanDFS(node[CurNode].nbs[i], CurNode, Depth + 1);
 58       node[CurNode].low = min(node[CurNode].low,
 59             node[node[CurNode].nbs[i]].low);
 60        if (CurNode == ROOT) {
 61         ChildrenOfRoot++;
 62       }
 63        if (CurNode != ROOT &&
 64             node[CurNode].depth <= node[node[CurNode].nbs[i]].low) {
 65         flag[CurNode] = 1;
 66       }
 67     }
 68   }
 69   node[CurNode].color = BLACK;
 70 }
 71 
 72  void FindCutPoint() {
 73    int i;
 74   TarjanDFS(1, 0, 1);
 75    for (i = 2; i <= Nnode; ++i) {
 76      if (flag[i] == 1) {
 77       CPCount++;
 78     }
 79   }
 80    if (ChildrenOfRoot > 1) {
 81     CPCount++;
 82   }
 83 }
 84 
 85  void Run() {
 86    int tmp1, tmp2;
 87    char ch;
 88    while (scanf("%d", &Nnode) && Nnode != 0) {
 89     Init();
 90      while (scanf("%d", &tmp1) && tmp1 != 0) {
 91        while (scanf("%d%c", &tmp2, &ch)) {
 92         node[tmp1].nbs.push_back(tmp2);
 93         node[tmp2].nbs.push_back(tmp1);
 94          if (ch == '\n') {
 95            break;
 96         }
 97       }
 98     }
 99     FindCutPoint();
100     Output();
101   }
102 }
103 
104  int main() {
105   Run();
106    return 0;
107 }
108 

核心代码便是TarjanDFS函数，它有三个参数，代表当前遍历的节点，该节点的父亲节点，节点的深度值。其中每个节点都有一个颜色值来表示当前遍历的状态，如果节点还未被遍历，则为WHITE，如果该节点已经被访问，但是正在遍历其孩子节点，则该节点为GREY，如果该节点及其所有孩子节点均被遍历，则该节点被标记为BLACK；

求无向连通图的割边算法与割点很类似，割点是求孩子节点的low值是否大于等于该节点的depth，如果low[child] >= depth[V]，则该点V为割点，如果low[child] > depth[v]，则v-child连接的这条边则为割边。