筛法求素数

筛法求素数

这个是经典的Eraosthenes筛法：

for  ( int  i  =   2 ; i  *  i  <  N; i ++ )
{
     if  (tag[i])  continue ;
     for  ( int  j  =  i; i  *  j  <  N; j ++ )
        tag[i * j]  =   1 ;
}
for  ( int  i  =   2 ; i  <  N; i ++ )
     if  ( ! tag[i])
        prime[tol ++ ]  =  i;

但是Eraosthenes筛法的速度并不快，原因在于对于一个合数，这种方法会重复的标记。一种线性筛素数的方法有效的解决了这一点，代码如下：

void  get_prime()
{
     int  cnt  =   0 ;
     for  ( int  i  =   2 ; i  <  N; i ++ )
    {
         if  ( ! tag[i])    p[cnt ++ ]  =  i;
         for  ( int  j  =   0 ; j  <  cnt  &&  p[j]  *  i  <  N; j ++ )
        {
            tag[i * p[j]]  =   1 ;
             if  (i  %  p[j]  ==   0 )
                 break ;
        }
    }
}

可以用均摊分析的方法来分析这个算法的复杂度：由于每个合数都唯一的被它的最小素因子筛一次，而每个合数的最小素因子都是唯一的，因此总复杂度是O(n)。
这种筛法的思想很强悍，有很多利用价值，可以根据这种方法做到线性筛欧拉函数等等，继续研究中。。