Gas Station -- LeetCode

原题链接:  http://oj.leetcode.com/problems/gas-station/  
这是一道具体问题的题目，brute force的方法比较容易想到，就是从每一个站开始，一直走一圈，累加过程中的净余的油量，看它是不是有出现负的，如果有则失败，从下一个站开始重新再走一圈；如果没有负的出现，则这个站可以作为起始点，成功。可以看出每次需要扫描一圈，对每个站都要做一次扫描，所以时间复杂度是O(n^2)。代码比较直接，这里就不列举了。
接下来说说如何提高这个算法。方法主要思想是把这个圈划分成一个个的负序列，以及一个正序列（如果存在的话）。从任意一个站出发，我们可以累加油的净余量，如果出现负的，序列结束，开启一个新的，并且证明旧的这个序列的起点不能作为起点，因为会出现负油量，不能继续前进。下面我们证明
不仅这个负序列的起点不能作为起点，负序列中的任意一点都不能作为起点。
证明： 假设我们取定负序列中的一个站作为起点，因为一个序列一旦遇到负的净余量就会结束并且开启新的，那么说明在这个起点前的累加结果必然是正数（否则会结束这个序列，则前面不会是这个序列的一部分）。如此我们从当前序列出发必然会使走到序列终点时负的油量更大，本来已经是负的，所以不能去负序列的任意一个结点作为起点。
根据上面的划分方式，我们会把圈分成一段段的序列，而且其中最多只有一个正序列，那就是绕一圈回到起点的那个序列（当然也有可能整个圈是一个正序列，就是油量一直为正，那么我们测的开始点就可以作为起点了）。接下来我们证明
如果将全部油量累计起来，总量为正，那么一定能找到一个起点，使得可以走完一圈，也就是一定有解。
证明： 按照我们之前的划分，整个圈会被划分成有累积量为s1, s2, ..., sk 的负序列，以及一个正序列拥有油量sp（这里正序列一定存在因为全部累加和是正的，如果全是负序列那么结果不会是正的）。而且我们知道s1+s2+...+sk+sp>0，也就是说sp>-s1-s2-...-sk。换句话说，如果我们从sp对应的站的起点出发，在sp对应的序列会一直是正的，并且，当他走到负序列时，因为sp的正油量大于所有负油量的总和，所以累加油量会一直正，完整整个圈的行驶。这证明了只要累加油量是正的，一定能找到一个起点来完成任务。
根据上面的两个命题，我们可以来实现代码，需要维护两个量，一个是总的累积油量total，另一个是当前序列的累计油量sum，如果出现负的，则切换起点，并且将sum置0。总共是需要扫描所有站一次，时间复杂度是O(n)。而只需要两个额外变量，空间复杂度是O(1)。代码如下：

public int canCompleteCircuit(int[] gas, int[] cost) {
    if(gas==null || gas.length==0 || cost==null || cost.length==0 || gas.length!=cost.length)
        return -1;
    int sum = 0;
    int total = 0;
    int pointer = -1;
    for(int i=0;i<gas.length;i++)
    {
        int diff = gas[i]-cost[i];
        sum += diff;
        total += diff;
        if(sum<0)
        {
            sum=0;
            pointer=i;
        }
    }
    return total>=0?pointer+1:-1;
}

这个题目的优化解法更像是一个数学题，需要定义数学模型并证明命题正确性，比较需要数学逻辑的功底。通过定义的模型以及证明的命题来做一部分贪心。