1010 STAMPS思路

http://www.stubc.com/thread-2117-1-1.html

问题重述:
给出n种邮票，每种邮票有自己的面值（面值可能重复）
指定m种“总面值”，对每种“总面值”，求解满足如下条件的组合以达到该“总面值”
（1） 所用邮票在n种中可以重复选取
（2） 所用邮票张数〈＝4
（3） 尽量多的适应那个不同总类的邮票 Max (Stamp Types)
（4） 若有多种方案满足（3），则选取张数最小的一种方案 Min (Stamp Num)
（5） 若有多种方案满足(3)(4),则选取“最大面额”最高的一种方案。 Max(Heightest Value)
（6） 若有多种方案满足（3）（4）（5） 则输出 “tie”

题目 分析:
(1) 算法 定位:
从题目的条件可知,此题必须遍求所有方案以求解,因此采用搜索 的方法是非常合理的,因为题目带由一定的递推性,也可以尝试动态规划的方法.
(2) 问题优化 与简化
对于搜索型题目,关键的优化就是减少重复计算,本题可由3方面的简化,避免重复性计算.
(1) 对于面额相等的邮票,可以限制在1~5张,多余的可以不处理,例如这样的输入:
1 1 1 1 1 1 1 1 0 8个1
4 0
可以简化成为:
1 1 1 1 1 0   5个1
4 0
他们的解是相同的
(2) 搜索求解时约定, 后一张邮票面额>=前面张邮票的面额,即如下的6种情况:
1 2 3  2 3 1  3 12  1 3 2  3 2 1  2 1 3
只需搜索判断一种,即 1 2 3 的情况
(3) 对于给定的n种邮票,遍历4张邮票的所有可达“总面额”的解，当m种指定面额给出，只需插标输出即可，不需要重复m次类似的搜索。（因为m次的搜索中，很多是重复计算的）

（3）算法介绍
（1） 搜索方法一： （base on 史诗’s program）
   主要思路：
    4重循环，枚举所有可能，依据题目条件保留最优解。
For(i=1;i<=total_stamps;i++)
For(j=i;j<=total_stamps;j++)
For(k=j;k<=total_stamps;k++)
For(l=k;l<=total_stamps;l++)
{
更新最优解
}

   优化：
    使用优化方案（1）（2）， 修改后可以加上优化方案（3）
评价：
    编程 复杂度低，代码 少，运行时空效率 高，比赛时候推荐 使用
    但是扩展性受限制，若题目给的是任一k张而不是4,则必须大量修改代码

（2） 搜索方法二： （base on hawking’s program）
   主要思路：
    递归深度搜索，遍历所有k张邮票的可达面额的解，保留每种面额的最优
   解，查表输出指定面额的解，并给定k=4,即为题目要求的情况。
  Void Solve(int deep)
  {
   更新当前方案所达面值的最优解
if (deep>4) return;
   for(int s=now[deep-1];s<=total_stamp;s++)
   {
    now[deep]=s;
    solve(deep+1);
}
}
   优化：
    使用优化方案（1）（2）（3）进行截枝
   评价：
    深度搜索的经典 模板 程序 ，推荐学习 ，几乎所有的搜索都可以套用的模板
    编程复杂度中，运行时空效率高，通用性强一些，但代码可能稍为多一些

（3） 动态规划： (base on my program)
   主要思路：
    定义 ：int anstype[k][j] 表示：
     用前k种邮票,选i张，达到面额为j，最多用多少种不同的类型 邮票。
    定义：bool tied[k][j] ：
k,i,j 定义如上，tied 表示 anstype[k][j] 的最优值是否有多种方案.即同时满足题目的条件（3）（4）时是否多种
   定义：bool anstied[k][j] :
由于 tied 限制不够强,必须多一个anstied 表示同时满足条件(3)(4)(5)是否有多种方案

   递推关系：
(1)  
anstype[k][j]=Max{anstype[k-1][i-w][j-w*value[k]]+1}   1<=w<=4, i-w>0, j-w*value[k]>=0
(2)
在anstype 的更新最大值的同时，可以判断，若某个w 使得
anstype[k][j]==anstype[k-1][i-w][j-w*value[k]]+1 则
tied[k][j]=ture;
anstype[k][j]<anstype[k-1][i-w][j-w*value[k]]+1 则
tied[k][j]=false
(3)
至于anstied 可以这样求得：
anstype[k][j]<anstype[k-1][i-w][j-w*value[k]]+1时
anstied[k][j]=tied[k-1][i-w][j-w*value[k]]
anstype[k][j]==anstype[k-1][i-w][j-w*value[k]]+1时
anstied=true;

  主要优化：
   使用优化方案（1）（2）（3）
   空间优化，由于[k][j]只与[k-1][j]有关，所以只需2维数据 [j]就可以了
这是动态规划最常用的空间优化，另外的一些是压缩存储技巧 ，主要的是用位运算存储，本题没有用上，不过以后有些题目会常用。
  评价：
   编程复杂度 中，运行时间少，可以承受大规模数据，规模可扩展，
但是空间要求量大，必须使用压缩技巧，这样编程复杂度会增大，推荐研究算法用，比赛不用


总结：
类似本题的问题很多，光stamps问题多年来就一直存在各种变种，sticks问题与本体类似，通用的算法都是搜索，练熟搜索模板是基础，简化问题、掌 握剪枝技巧是解题关键。某些特殊问题可以用动态规划，但是并不是所有的都可以，例如sticks我试过是不能用动态规划的，而且比赛时候，思考会浪费时 间，所以推荐比赛时用搜索。（不排除某些题目用搜索通过不了的大数据，必须用动态规划解决，所以要估计好时间空间，选用稳妥的算法）