关于投影平面变换到viewport后多边形的失真问题

-潘宏

-2012年12月

-本人水平有限，疏忽错误在所难免，还请各位高手不吝赐教

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在《深入探索透视投影变换》（http://blog.csdn.net/popy007/article/details/1797121）一文中，我们曾经简单提到多边形从投影平面变换到视口之后可能产生失真问题。很多朋友跟我说不太理解该问题产生的原因，下面我们就来简单探讨一下（请确保理解了文章中所描述的透视投影变换原理）。

经典流水线中的投影平面到视口的变换是这样的：

相机空间中多边形经过透视投影变换后进入规则观察体CVV，这就是齐次裁剪坐标系。进行裁剪并进行透视除法，然后经过视口变换后进入视口中。所谓失真，就是指多边形的真实比例和最终抵达viewport后的比例不同。

我们来仔细考察一下这些变换以及可能产生失真的地方。首先，经过原始投影变换的点为：

这是我们透视投影矩阵的第一个版本结果，我们只关注前两个分量。这个变换不存在任何失真问题，这是把一个真实的3D多边形按照精确物理定律投影到2D平面上的过程，这一步不涉及投影平面的尺寸问题，失真问题从下一步开始考虑。

接下来是把这个结果通过线性插值将P’变换到CVV中（投影矩阵第二个版本结果）：

P’ = A * P’ + B

实际上，我们相当于对多边形进行了如下变换：

在进行该计算的时候，我们采用了线性插值公式，而线性插值公式会保持原始值和结果值在变换前后范围内的比例不变（这是该问题的关键！如果对线性插值不熟悉，请参考《深入探索透视投影变换》的线性插值部分）。

可以看到，需要考虑投影平面的尺寸（纵横比）。除非投影平面纵横比（w:h）也是1:1的，否则变换到CVV的2D多边形投影肯定会失真，这是由于投影平面和CVV不同的纵横比以及线性插值这两者的综合作用造成的。

再从CVV通过视口变换把多边形变换到视口中：

视口变换本身也是一个线性变换，因此具有线性插值的比例不变性质。因此视口中多边形的纵横比将严格按照视口的纵横比和线性插值规则来产生。

通过这两个过程，我们进行思考，发现：2D多边形在投影平面范围中的比例（多边形尺寸在投影平面上的比例）将通过线性插值原样地保持到CVV中，而CVV中的多边形的范围比例（多边形尺寸在CVV上的比例）将通过线性插值原样地保持到viewport中（多边形尺寸在viewport中的比例）。因此，只要投影平面的纵横比和viewport的纵横比一样，最终显示在viewport中的多边形就不会失真（和投影平面中的多边形比例一致）。

更严格地推导需要使用线性插值公式，这留给感兴趣的读者。（这并不难，用未知数x、y和线性插值公式代一遍就清楚了。如果你不感兴趣，记住这个结论就可以了:)）如果你在进行了仔细地思考后仍然难以理解这个问题，欢迎和我交流。