bezier 曲线

Bezier曲线 会落在 convex hull 之内，不会有不可预期形状

　　Bezier曲线 有整体修正(globally modification)之特性 – 也就是更动任一控制点会更改整条曲线之形状

　　Bezier曲线 所有混成函数的和为 1

　　Bezier曲线 的反曲点之数少於控制多边形之边数

　　Bezier曲线 与一平面的相交点之数 少於该平面与控制多边形之的相交点之数

　　一、Bezier曲线 定义：　　给定n+1个控制顶点Pi(i=0~n) ，则Bezier曲线 定义为：

　　P(t)=∑Bi,n(t)Pi u∈[0,1]?

　　其中：Bi,n(t)称为基函数。

　　Bi,n(t)=Ci nti (1-t)n-i

　　Ci n=n!/(i!*(n-i)!)

　　二、Bezier曲线 性质

　　1、端点性质：

　　a）P(0)=P0, P(1)=Pn, 即：曲线过二端点。

　　b）P’(0)=n(P1-P0), P’(1)=n(Pn-Pn-1)

　　即：在二端点与控制多边形相切。

　　2、凸包性：Bezier曲线 完成落在控制多边形的凸包内。

　　3、对称性：由Pi与Pn-i组成的曲线，位置一致，方向相反。

　　4、包络性：Pn (t)=(1-t)Pn-1 (t)+tPn-1 (t)

　　在CAD/CAM中，常采用Bezier曲线 曲面，这样便于理解曲线/曲面。但采用Bezier形式的曲线曲面不能精确的表示二次曲线和二次曲面，如球体和圆。将多项式改为有理形式，不仅能精确表示二次曲线和二次曲面，且增加了设计的自由度。重复的进行两点线性插值，可以构造Bezier Curve。重复的进行两点有理插值，可以构造有理Bezier Curve。

　　与控制顶点类似，有理Bezter曲线上的点可映射为Bezter曲线上的点或对应的控制多边形上的点。在透视投影使用理形式与非有理形式产生相同投影时，有理Besier曲线曲面和有理B样条曲线曲面继承了Bezier曲线 曲面和B样条曲线曲面的简单、优美的特性。这种形式，数学上的分析及几何特性的掌握了解都比其他4D空间(wx、wy、wz、w)方法和单纯的3D空间有理形式要简单和容易。

　　现在，有理曲线曲面不仅仅用于表示和构造二次曲线曲面。对有理曲线曲面的权因子该如何选取往往不很清楚，而且有理形式的计算比非有理形式复杂，但是，由于其构造特性，现在人们已经开始考虑有理Bezter和有理B样条曲线曲面的应用

 B-Spline样条和二次Bezier曲线的一种实现方法

                                吕雪松

在地理信息系统的应用中，经常会涉及到光滑曲线的应用；而光滑曲线的应用，既要解决适合计算机处理，且有效地满足空间表示与几何表现要求，又便于形状信息 传递和地理数据交换的空间描述。1963年美国波音飞机公司的Ferguson首先提出将曲线曲面表示为参数的矢函数方法，并引入参数三次曲线。从此曲线 曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。1964年美国麻省理工学院的Coons发表一种具有一般性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的四条边界就 可定义一块曲面。但这种方法存在形状控制与连接问题。1971年法国雷诺汽车公司的Bezier提出一种由控制多边形设计曲线的新方法。这种方法不仅简单 易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。但Bezier方法仍存在连接问 题和局部修改问题。到1972年，de-Boor总结、给出了关于B样条的一套标准算法，1974年Gordon和Riesenfeld又把B样条理论应 用于形状描述，最终提出了B样条方法。这种方法继承了Bezier方法的一切优点，克服了Bezier方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻 而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。
B样条曲线的坐标位置可表示为：

B样条具有以下性质：
• 在u值域内，多项式次数为d-1
• 对于n+1个控制点，曲线由n+1个混合函数描述
• 每个混合函数Bk,d定义域为u值域的d子区间，以节点向量值uk为起点。
• 参数u的值域由n+d+1个给定节点向量值分成n+d个子区间
• 节点记为{u0，u1，u2,…,un+d}，生成的样条曲线仅定义在从节点值ud-1到节点值un+1区间上
• 每个样条曲线段（在两个相邻节点值间）受d个控制点影响。
• 一个控制点可以影响最多d个曲线段的影响。

Bezier曲线最直接的表现为除端点外，不过控制点的光滑曲线，在整个周期范围内可求导，任意控制点的变化都会影响其形状。Bezier曲线的数学描述为
Bezier曲线具有以下特征：
• 端点与特征多边形起点或终点重合，且与特征多边形边形相切；
• Bezier曲线具有对称性，即控制点顺序的反向调整不改变整个曲线的形状；
• 曲线均位于特征多边形构成凸包之中；

抛开复杂的数字理论模型不谈，应该说，B样条和Bezier贝塞尔曲线是地理信息系统中两种最常用的光滑曲线，或者说是两种最常用的曲线插值算法，二者之 间不存在优劣之分，都可以分别应用在曲面光滑、曲线注记、TTF符号优化等环境中。如下所示两条过相同控制点的样条曲线和Bezier曲线的形状。

在实现上，利用面向对象的方法来构造曲线类的层次结构，如下图所示：
所有的类都从一个CGeoObject的虚基类派生，它是所有地物的共同基类，通过它，还可以派生诸如点、多边形、Arc、圆/椭圆、Pie等地物类型。在此基类中，构造了所有地物都具有的基本属性：坐标点链表。
从CGeoObject派生出CGeoLine，此类是用来描述由两个和两个以上坐标点构成的强调长度、不强调面积的地物类型；从此类可以派生出 CGeoSimpleLine（由两点构成的单线）、CGeoSegmentLine（二个以上点构成的线地物）、CGeoPolyline（封闭线）、 CGeoParallelLine（平行线）等。
CGeoSmoothLine是从CGeoLine派生出的光滑曲线的地物类，它的坐标点链表中存储的是原始的控制点信息，然后通过一个Build()纯 虚函数，在其派生类中实现插值，根据指定的阶数，由控制点插值生成TGeoCurve类实例，即生成光滑曲线的插值坐标点。
CGeoSpline和CGeoBezier是从CGeoSmoothLine派生的样条曲线和贝塞尔曲线的类定义。

以下为VC中实现的以上类结构定义：

class CGeoObject
{
public:
CGeoRect rect;
vector<CGeoPoint*> ptList;

};

class CGeoPoint : public CGeoObject
{
public:
double dx, dy, dz;
};
//线地物类定义

class CGeoLine : public CGeoObject
{};

class CGeoCurve;
//光滑曲线类定义
class CGeoSmoothLine : public CGeoLine
{
public:
vector<CGeoCurve*> curvePts; //曲线段链表
public:
CGeoSmoothLine();
virtual void Build() = 0; //插值
};

//曲线段定义
class CGeoCurve
{
public:
CGeoCurve();
};

//样条曲线类定义
class CSpline : public CGeoSmoothLine
{
public:
int nFactor;
public:
CSpline();
virtual ~CSpline() {};
void Initialize() {};
void Generate() {};
void MatrixSolve() {};
void MatrixSolveEx() {};
virtual void Build() {}; //样条插值
};

//贝塞尔曲线类定义
class CGeoBezier : public CGeoSmoothLine
{
public:
int nSmoothFactor; //插值光滑度
public:
CGeoBezier(); //构造函数
double GetBinomialCoefficient(int m, int i) {}; //获得多项式系数
virtual void Build() {}; //贝塞尔曲线插值
};

以下为样条曲线的插值算法：

void TGeoSpline::Generate()
{
float AMag , AMagOld;
    // vector A
for(int i= 0 ; i<=NP-2 ; i++ )
{
Ax[i] = Px[i+1] - Px[i];
Ay[i] = Py[i+1] - Py[i];
}
// k
AMagOld = (float)sqrt(Ax[0]*Ax[0] + Ay[0]*Ay[0]);
for(i=0 ; i<=NP-3 ; i++)
{
AMag = (float)sqrt(Ax[i+1]*Ax[i+1] + Ay[i+1]*Ay[i+1]);
k[i] = AMagOld / AMag;
AMagOld = AMag;
}
k[NP-2] = 1.0f;

// Matrix
for(i=1; i<=NP-2;i++)
{
Mat[0][i] = 1.0f;
Mat[1][i] = 2.0f*k[i-1]*(1.0f + k[i-1]);
Mat[2][i] = k[i-1]*k[i-1]*k[i];
}
Mat[1][0] = 2.0f;
Mat[2][0] = k[0];
Mat[0][NP-1] = 1.0f;
Mat[1][NP-1] = 2.0f*k[NP-2];

//
for(i=1; i<=NP-2;i++)
{
Bx[i] = 3.0f*(Ax[i-1] + k[i-1]*k[i-1]*Ax[i]);
By[i] = 3.0f*(Ay[i-1] + k[i-1]*k[i-1]*Ay[i]);
}
Bx[0] = 3.0f*Ax[0];
By[0] = 3.0f*Ay[0];
Bx[NP-1] = 3.0f*Ax[NP-2];
By[NP-1] = 3.0f*Ay[NP-2];

//
MatrixSolve(Bx);
MatrixSolve(By);

for(i=0 ; i<=NP-2 ; i++ )
{
Cx[i] = k[i]*Bx[i+1];
Cy[i] = k[i]*By[i+1];
}
}

一、Bezier曲线定义：
给定n+1个控制顶点Pi(i=0~n) ，则Bezier曲线定义为：
P(t)=∑Bi,n(t)Pi u∈[0,1]
其中：Bi,n(t)称为基函数。
Bi,n(t)=Ci nti (1-t)n-i
Ci n=n!/(i!*(n-i)!)

二、Bezier曲线性质
1、端点性质：
a）P(0)=P0, P(1)=Pn, 即：曲线过二端点。
b）P’(0)=n(P1-P0), P’(1)=n(Pn-Pn-1)
即：在二端点与控制多边形相切。
2、凸包性：Bezier曲线完成落在控制多边形的凸包内。
3、对称性：由Pi与Pn-i组成的曲线，位置一致，方向相反。
4、包络性：Pn (t)=(1-t)Pn-1 (t)+tPn-1 (t)