一个有N个整数元素的一维数组(A[0],A[1],...,A[n-2],A[n-1]),这个数组当然有很多子数组,那么子数组之和的最大值是什么呢?
下面将给出3种解法的代码:
解法一: int Max::MaxSum1(int *A,int n) { int maxNum=-INF; int sum; for(int i=0;i<n;i++) { sum=0; for(int j=i;j<n;j++)//计算从i开始的所有子数组的和,并与maxNum比较 { sum+=A[j]; if(sum>maxNum) maxNum=sum; } } return maxNum; }分析:该算法的复杂度为O(N2)。
解法二:
思路:我们考虑数组的最后一个元素A[n-1](当然也可以从第一个元素出发),以及前n-1项的和最大连续子数组(A[i],...,A[j])跟A[n-1]之间的关系,有以下几种情况:
1.等于A[n-1]。
2.以A[n-1]结尾。
3.与A[n-1]无关,即和最大连续子数组为前n-1项的最大连续子数组。
从上面的分析可以看出这个问题的无后效性,可以使用动态规划的方法来解决。
int Max::MaxSum2(int *A,int n)//动态规划 { int nAll=A[0];//当前最大子数组的和 int nEnd=0;//以A[i]结尾的子数组最大和 for(int i=0;i<n;i++) { nEnd=max(A[i],nEnd+A[i]);//求以A[i]结尾的和最大的子数组 nAll=max(nAll,nEnd);//当前和最大子数组要么是以A[i]结尾,要么和A[i]无关 } return nAll; }
算法时间复杂度为:O(N)。
解法三:
int Max::MaxSum3(int *A,int n)//不考虑全负数组,全负数组的最大和子数组为数组最小值 { int maxNum=0; int sum=0; for(int i=0;i<n;i++) { sum+=A[i]; if(sum>maxNum) maxNum=sum; if(sum<0)//当sum<0时,最大和连续子数组要么在A[0,...,i-1]中,要么在A[i+1,...,n-1]中。 sum=0;//令sum=0,接下来求A[i+1,...,n-1]的最大和连续子数组 } return maxNum; }算法时间复杂度为O(N)。