求数组的子数组之和的最大值

一个有N个整数元素的一维数组(A[0],A[1],...,A[n-2],A[n-1]),这个数组当然有很多子数组,那么子数组之和的最大值是什么呢?

下面将给出3种解法的代码:

解法一:
int Max::MaxSum1(int *A,int n)
{
	int maxNum=-INF;
	int sum;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		sum=0;
		for(int j=i;j<n;j++)//计算从i开始的所有子数组的和,并与maxNum比较

		{
			sum+=A[j];
			if(sum>maxNum)
				maxNum=sum;
		}
	}
	return maxNum;
}
分析:该算法的复杂度为O(N2)。

解法二:

思路:我们考虑数组的最后一个元素A[n-1](当然也可以从第一个元素出发),以及前n-1项的和最大连续子数组(A[i],...,A[j])跟A[n-1]之间的关系,有以下几种情况:

1.等于A[n-1]。

2.以A[n-1]结尾。

3.与A[n-1]无关,即和最大连续子数组为前n-1项的最大连续子数组。

从上面的分析可以看出这个问题的无后效性,可以使用动态规划的方法来解决。

int Max::MaxSum2(int *A,int n)//动态规划
{
	int nAll=A[0];//当前最大子数组的和
	int nEnd=0;//以A[i]结尾的子数组最大和
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		nEnd=max(A[i],nEnd+A[i]);//求以A[i]结尾的和最大的子数组
		nAll=max(nAll,nEnd);//当前和最大子数组要么是以A[i]结尾,要么和A[i]无关
	}
     return nAll;
}

算法时间复杂度为:O(N)。

解法三:

int Max::MaxSum3(int *A,int n)//不考虑全负数组,全负数组的最大和子数组为数组最小值
{
	int maxNum=0;
	int sum=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		sum+=A[i];
		if(sum>maxNum)
			maxNum=sum;
		if(sum<0)//当sum<0时,最大和连续子数组要么在A[0,...,i-1]中,要么在A[i+1,...,n-1]中。
			sum=0;//令sum=0,接下来求A[i+1,...,n-1]的最大和连续子数组
	}
	return maxNum;
}
算法时间复杂度为O(N)。



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