Coursera Scala 1-7：递归和尾递归

递归

大家都不陌生，一个函数直接或间接的调用它自己，就是递归了。我们来看一个简单的，计算阶乘的例子。

def factorial(n: Int): Int = {
  if( n <= 1 ) 1
  else n * factorial(n-1)
}

以上factorial方法，在n>1时，需要调用它自身，这是一个典型的递归调用。如果n=5，那么该递归调用的过程大致如下：

factorial(5)
5 * factorial(4)
5 * (4 * factorial(3))
5 * (4 * (3 * factorial(2)))
5 * (4 * (3 * (2 * factorial(1))))
5 * (4 * (3 * (2 * 1)))
120

递归算法，一般来说比较简单，符合人们的思维方式，但是由于需要保持调用堆栈，效率比较低，在调用次数较多时，更经常耗尽内存。 因此，程序员们经常用递归实现最初的版本，然后对它进行优化，改写为循环以提高性能。尾递归于是进入了人们的眼帘。

尾递归

尾递归是指递归调用是函数的最后一个语句，而且其结果被直接返回，这是一类特殊的递归调用。 由于递归结果总是直接返回，尾递归比较方便转换为循环，因此编译器容易对它进行优化。现在很多编译器都对尾递归有优化，程序员们不必再手动将它们改写为循环。

以上阶乘函数不是尾递归，因为递归调用的结果有一次额外的乘法计算，这导致每一次递归调用留在堆栈中的数据都必须保留。我们可以将它修改为尾递归的方式。

def factorialTailrec(n: BigInt, acc: BigInt): BigInt = {
    if(n <= 1) acc
    else factorialTailrec(n-1, acc * n)
}

现在我们再看调用过程，就不一样了,factorialTailrec每一次的结果都是被直接返回的。还是以n=5为例，这次的调用过程如下。

factorialTailrec(5, 1)
factorialTailrec(4, 5)  // 1 * 5 = 5
factorialTailrec(3, 20) // 5 * 4 = 20
factorialTailrec(3, 60) // 20 * 3 = 60
factorialTailrec(2, 120) // 60 * 2 = 120
factorialTailrec(1, 120) // 120 * 1 = 120120

以上的调用，由于调用结果都是直接返回，所以之前的递归调用留在堆栈中的数据可以丢弃，只需要保留最后一次的数据，这就是尾递归容易优化的原因所在， 而它的秘密武器就是上面的acc，它是一个累加器（accumulator，习惯上翻译为累加器，其实不一定非是“加”，任何形式的积聚都可以），用来积累之前调用的结果，这样之前调用的数据就可以被丢弃了。

普通递归改写为尾递归

将普通的递归改写为尾递归，关键在于找到合适的累加器。下面我们以斐波那契数列为例，看看如何找到累加器。斐波那契数列，前两项为1，从第三项起，每一项都是它之前的两项和。这个定义就是天然的递归算法，如下。

def fibonacci(n: Int): Int = {
  if (n <= 2) 1
  else fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)
}

还是以n=5为例，看它的计算过程。

fibonacci(5)
fibonacci(4) + fibonacci(3)
(fibonacci(3) + fibonacci(2)) + (fibonacci(2) + fibonacci(1))
((fibonacci(2) + fibonacci(1)) + 1) + (1 + 1)
((1 + 1) + 1) + 2
5

以上显然不是尾递归，如何找到累加器将它改造为尾递归？因为需要前两项的和，所以这里需要两个累加器，假设较小的一个为acc1，较大的一个为acc2， 需要计算下一项时，将acc2赋值为新的的acc1'，而（acc1+acc2)赋值为acc2'，这样，调用堆栈中旧有的数据即可丢弃。以下是这个过程的演示。

n	0	1	2	3	4
F(n)	0	1	1	2	3

   acc1  acc2        
         acc1'=acc2 acc2'=acc1+acc2    
                     acc1''=acc2' acc2''=(acc1'+acc2') acc1'''=acc2''        acc2'''=acc1''+acc2''

根据上面的演示过程，可以写代码如下。

def fibonacciTailrec(n: Int, acc1: Int, acc2: Int): Int = {
  if (n < 2) acc2
  else fibonacciTailrec(n - 1, acc2, acc1 + acc2)
}

以上代码，直接返回递归的结果，因此是严格的尾递归，n=5时，调用过程如下。

fibonacciTailrec(5,0,1)
fibonacciTailrec(4,1,1)
fibonacciTailrec(3,1,2)
fibonacciTailrec(2,2,3)
fibonacciTailrec(1,3,5)
5

上述过程只是演示简单的改写递归的方法，事实上，关于累加器，有更普遍的规律可循，这里不再深入介绍。 对比上述普通递归和尾递归的效率，完整的代码如下。

def fibonacci(n: Int): Int = {
  if (n <= 2) 1
  else fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)
}

def fibonacciTailrec(n: Int, acc1: Int, acc2: Int): Int = {
  if (n < 2) acc2
  else fibonacciTailrec(n - 1, acc2, acc1 + acc2)
}

val list = List(20, 30, 40)
val sw = new Stopwatch
for (num <- list) {
  println("n = " + num)
  sw.start("Normal")
  val ret = fibonacci(num)
  println("F(n) = " + ret)
  sw.stop()

  sw.start("Tail")
  val retTail = fibonacciTailrec(num, 0, 1)
  println("FT(n) = " + retTail)
  sw.stop()
  println(sw.prettyPrint())
  println()
  sw.reset()
}

上述代码，某次执行输出的结果如下（处理器1.8GHz Intel Core i5)。

n = 20
F(n)  = 6765
FT(n) = 6765
Total time elapsed: 2(ms)
-------------------------------------
 (ms)    (%)   Task name
    2  100.00  Normal
    0    0.00  TailRec
-------------------------------------

n = 30
F(n)  = 832040
FT(n) = 832040
Total time elapsed: 3(ms)
-------------------------------------
 (ms)    (%)   Task name
    3  100.00  Normal
    0    0.00  TailRec
-------------------------------------

n = 40
F(n)  = 102334155
FT(n) = 102334155
Total time elapsed: 396(ms)
-------------------------------------
 (ms)    (%)   Task name
  396  100.00  Normal
    0    0.00  TailRec
-------------------------------------

完整例程，请参见TailRecursion

Scala对尾递归的支持

支持

Scala对形式上严格的尾递归进行了优化，对于严格的尾递归，可以放心使用，不必担心性能问题。对于是否是严格尾递归，若不能自行判断， 可使用Scala提供的尾递归标注@scala.annotation.tailrec，这个符号除了可以标识尾递归外，更重要的是编译器会检查该函数是否真的尾递归，若不是，会导致如下编译错误。

could not optimize @tailrec annotated method fibonacci: it contains a recursive call not in tail position

局限

由于JVM的限制，对尾递归深层次的优化比较困难，因此，Scala对尾递归的优化很有限，它只能优化形式上非常严格的尾递归。也就是说，下列情况不在优化之列。

• 如果尾递归不是直接调用，而是通过函数值。
  比如以上阶乘的尾递归版本，如果我们改写为不是直接调用它，而是将函数赋值给func，编译器将不会认为它是尾递归。

  //call function value will not be optimized
  val func = factorialTailrec _
  def factorialTailrec(n: BigInt, acc: BigInt): BigInt = {
  if(n <= 1) acc
  else func(n-1, acc*n)
  }
  

• 间接递归不会被优化 间接递归，指不是直接调用自身，而是通过其他的函数最终调用自身的递归。如下所示。

  //indirect recursion will not be optimized
  def foo(n: Int) : Int = {
  if(n == 0) 0;
  bar(n)
  }
  def bar(n: Int) : Int = {
  foo(n-1)
  }
  

Reference

scalass.com/zh/article/tail-recursion.html