隐马尔科夫模型(HMMs)之一：简介及生成模式

介绍（introduction）

通常我们总是对寻找某一段时间上的模式感兴趣，这些模式可能出现在很多领域：一个人在使用电脑的时候使用的命令的序列模式；一句话中的单词的序列；口语中的音素序列。总之能产生一系列事件的地方都能产生有用的模式。

考虑一个最简单的情况：有人(柯南？)试图从一块海藻来推断天气的情况。一些民间的传说认为“soggy”的海藻意味着潮湿（wet）的天气，“dry”的海藻预示着晴朗（sun）。如果海藻处于中间状态“damp”，那就无法确定了。但是，天气的情况不可能严格的按照海藻的状态来变化，所以我们可以说在一定程度上可能是雨天或是晴天。另一个有价值的信息是之前某些天的天气情况，结合昨天的天气和可以观察到的海藻的状态，我们就可以为今天的天气做一个较好的预报。

这是在我们这个系列的介绍中一个非常典型的系统。

 

• 首先我们介绍一个可以随时间产生概率性模型的系统，例如天气在晴天或者雨天之间变动。
• 接下来我们试图去预言我们所不能观察到的"隐形"的系统状态，在上面的例子中，能被观察到的序列就是海藻的状态吗，隐形的系统就是天气情况
• 然后我们看一下关于我们这个模型的一些问题，在上面那个例子中，也许我们想知道

1. 如果我们观察一个星期每一天的海藻的状态，我们是否能知相应的其天气情况
2. 如果给出一个海藻状态的序列，我们是否能判断是冬天还是夏天？我们假设，如果海藻干（dry）了一段时间，那就意味着是夏天如果海藻潮湿（soggy）了一段时间，那可能就是冬天。

生成模式（Generating Patterns）

• 确定的模式（Deterministic Patterns）

考虑交通灯的例子，一个序列可能是红-红/橙-绿-橙-红。这个序列可以画成一个状态机，不同的状态按照这个状态机互相交替

我们可以注意到，每一个状态都只依赖于此前的状态，如果当前的是绿灯，那么接下来就是橙灯，这就是一个确定型的系统。确定型的系统更容易理解和分析，只要这些状态转移都是已知的。

• 不确定的模式（Non-Deterministic Patterns）

为了让之前那个天气的例子更贴近现实，我们可以添加一个状态-多云。和交通灯的例子不同，我们不能得到一个确定的状态转移系统，但是我们还是希望能得到一个天气的模式。

一种办法就是假设这个模型的每个状态都只依赖于之前的状态，这个假设被称为马尔科夫假设，这个假设可以大大的简化这个问题。显然，这个假设可能是一个非常糟糕的假设，导致很多重要的信息都丢失了。

当涉及到天气的时候，马尔科夫假设假设如果我们知道之间一些天的天气的信息，不考虑风力、气压等因素，那么我们就能预言今天的天气。当然，和其他许多例子一样，这个列子也是不合实际的。但是，这样一个简化的系统可以有利于我们的分析，所以我们通常接受这样的假设，因为我们知道这样的系统能让我们获得一些有用的信息，尽管不是十分准确的。

一个马尔科夫过程就是指过程中的每个状态的转移只依赖于之前的n个状态，这个过程被称为1个n阶的模型，其中n是影响转移的状态的数目。最简单的马尔科夫过程就是一阶过程，每一个状态的转移只依赖于其之间的那一个状态。注意这和确定型的系统不一样，因为这种装因是有概率的，而不是确定的。下面这个图展示了天气这个例子中所有可能的一阶转移：

注意一个含有M个状态的一阶过程有M的平方个状态转移。每一个转移的概率叫做状态转移概率（state transition probability），就是从一个状态转移到另一个状态的概率。这所有的M的平方个概率可以用一个状态转移矩阵来表示。注意这里有一个假设，概率不随时间的变化而变化，这又是一个不现实但很重要的假设。下面就是一个状态转移矩阵的列子：

这个矩阵的意思是，如果昨天是晴天，那么今天又50%的可能是晴天，37.5%的概率是阴天，12.5%的概率会下雨，很明显，每一行的和都是1。

为了初始化这样一个系统，我们需要一个初始的概率向量：

这个向量表示第一天是晴天。

到这里，我们就为一阶马尔科夫过程定义了以下三个部分:

• 状态：晴天、阴天和下雨
• 初始向量：定义系统在时间为0的时候的状态的概率
• 状态转移矩阵：每种天气转换的概率

所有的能被这样描述的系统都是一个马尔科夫过程。

 

• 总结（Summary）

我们为了找到随时间变化的模式，就试图去建立一个可以产生模式的过程模型。我们使用了具体的时间步骤、状态、并且做了马尔科夫假设。有了这些假设，这个能产生模式系统就是一个马尔科夫过程。一个马尔科夫过程包括一个初始向量和一个状态转移矩阵。关于这个假设需要注意的一点是状态转移概率不随时间变化。

 

如果我们观察一个星期每一天的海藻的状态，我们是否能知相应的其天气情况

如果给出一个海藻状态的序列，我们是否能判断是冬天还是夏天？我们假设，如果海藻干（dry）了一段时间，那就意味着是夏天如果海藻潮湿（soggy）了一段时间，那可能就是冬天。

如果我们观察一个星期每一天的海藻的状态，我们是否能知相应的其天气情况

如果给出一个海藻状态的序列，我们是否能判断是冬天还是夏天？我们假设，如果海藻干（dry）了一段时间，那就意味着是夏天如果海藻潮湿（soggy）了一段时间，那可能就是冬天。