并查集 Union-Find Set
并查集：(union-find sets)是一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数、最小公共祖先、带限制的作业排序，还有最完美的应用：实现Kruskar算法求最小生成树。
一般采取树形结构来存储并查集，在合并操作时可以利用树的节点数(加权规则)或者利用一个rank数组来存储集合的深度下界--启发式函数，在查找操作时进行路径压缩使后续的查找操作加速。这样优化实现的并查集，空间复杂度为O(N)，建立一个集合的时间复杂度为O(1)，N次合并M查找的时间复杂度为O(M Alpha(N))，这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数，在很大的范围内这个函数的值可以看成是不大于4的，所以并查集的操作可以看作是线性的。
它支持以下三种操作:
－Union (Root1, Root2) //合并操作；把子集合Root2和子集合Root1合并.要求：Root1和 Root2互不相交,否则不执行操作.
－Root(x) //搜索操作；搜索元素x所在的集合,并返回该集合的名字--根节点.
－MakeSet (N) //构造函数。将并查集中s个元素初始化为s个只有一个单元素的子集合.
－集合中每个元素的元素名分别存放在树的结点中，此外，树的每一个结点还有一个指向其双亲结点的指针。
－为简化讨论，忽略实际的集合名，仅用表示集合的树的根来标识集合。
Union分为两个版本，Union1是将parent域充分利用，其中Parent为正数时表示该节点的父节点下标，为负数时表示该节点为一个根节点，其绝对值为该集合包含的节点总数。 Union2版本是将rank利用，保存树的高度。
Del1 是狭义上的删除操作。(一次删除后不再使用) Del2是广义上的删除操作，利用了一个Mapping数组来保存映射信息
当使用Del2的时候， 各个函数的调用方式是：Union1(Mapping[a],Mapping[b]);MakeSet(N) 如果显式调用Root，也需要Mapping[x]; Root(Mapping[x]);
综上，一般不涉及删除操作，使用的是MakeSet(N) Root(x) Union1()
如果涉及删除操作，使用的是MakeSet(N) Root(Mapping[x]) Union1(Mapping[x],Mapping[y]) ,Del2[x]; //注意这里是Del[x];
reshape()来统计各个并查集分量块，当操作都进行完了之后，才进行统计的！
Sosi实现：应用的版本不同。。
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
#define MAXN 500001
struct
{
int parent; //标记父节点，如果parent为负数则表示是父节点，负数的绝对值表示此块内节点数目
int rank; //rank 为树高
bool flag; //标记是否被删除 0 未被删除，1 被删除 如果引入删除操作，rank树高性质被破坏
}UFS[MAXN]; //UnionFindSet UFS
int Mapping[MAXN]; //映射数组，为了进行删除元素。
vector<int> UFSSet[MAXN];
int Dmax;
//其中Parent为正数时表示该节点的父节点下标，为负数时表示该节点为一个根节点，其绝对值为该集合包含的节点总数。
//rank表示权值，在不同问题中有不同的含义。
void MakeSet(int N) /* 初始化 */
{
for(int i=0;i<N;i++) //0-indexed
{
UFS[i].parent=-1; /* 开始每个节点单独构成一个集合 */
UFS[i].rank=0; /* 权值视具体情况付初值 */
UFS[i].flag=0;
Mapping[i]=i;
}
}
int Root(int x) /* 查找包含接点x的集合的根节点 */
{
int i=x,temp;
while(UFS[i].parent>=0)
i=UFS[i].parent;
while(i!=x) /* 压缩路径以提高以后检索效率 */
{
temp=UFS[x].parent;
UFS[x].parent=i; //直接将x的祖先命为根节点
x=temp; //继续处理x的原祖先
}
return i;
}
/*
Union1 的优点是能把并查集数某颗树的节点数找到，在parent域中
且rank域空缺，可以去掉
如果使用，可以赋给rank域额外信息
*/
void Union1(int a,int b) /* 合并a和b所在的集合 */
{
int x,y;
x=Root(a);
y=Root(b);
if(x==y) return;
if(UFS[x].parent<UFS[y].parent)
UFS[x].parent+=UFS[y].parent,UFS[y].parent=x; /* 始终将较小树作为较大树的子树 */
else
UFS[y].parent+=UFS[x].parent,UFS[x].parent=y;
}
/*
Union 2 的优点是把树高可以统计出来。。此时rank被占用
*/
void Union2(int a, int b) //将rank较大的作为父节点
{
int x = Root(a), y = Root(b);
if( x == y ) return ;
if( UFS[x].rank > UFS[y].rank ) UFS[y].parent = x;
else{
UFS[x].parent = y;
if( UFS[x].rank == UFS[y].rank ) UFS[y].rank++;
}
}
//此时的删除只是狭义上的删除，看1号节点被删除之后，当下一次被添加的时候是什么性质了
//此时需要维护一个映射表！
//当新来一个元素之后，我们首先都是先进行映射！Mapping[]将所有的标号i修改成为Mapping[i];
//初始化Mapping为i；
void Del1(int x)
{
if(UFS[x].parent==-1) //独立顶点
UFS[x].flag=true;
else
{
if(UFS[x].parent>=0) //叶子节点
{
UFS[x].flag=true;
int i=x;
while(UFS[i].parent>=0)
i=UFS[i].parent;
UFS[i].parent+=1;
}
else
UFS[x].parent+=1,UFS[x].flag=true; //并查集集合顶点
}
}
void Del2(int x)
{
int initialx=x; //便于修改一开始的x
if(UFS[x].flag==true) //已被删除
x=Mapping[x];
if(UFS[x].parent==-1) //独立顶点
UFS[x].flag=true;
else
{
if(UFS[x].parent>=0) //叶子节点
{
UFS[x].flag=true;
int i=x;
while(UFS[i].parent>=0)
i=UFS[i].parent;
UFS[i].parent+=1;
}
else
UFS[x].parent+=1,UFS[x].flag=true; //并查集集合顶点
}
Mapping[initialx]=Dmax;
Mapping[Dmax]=Dmax;
UFS[Dmax].parent=-1;
UFS[Dmax].rank=0;
UFS[Dmax].flag=0;
Dmax++;
}
void reshape()
{
//我们默认此处存储为0-indexed
int UFSBlock=0;
for(int i=0;i<Dmax;i++)
{
if(UFS[i].parent<-1||((UFS[i].parent==-1) && (UFS[i].flag==0))) //如果一个节点被删除
{
UFSBlock++;
UFSSet[0].push_back(i);
}
}
for(int i=0;i<Dmax;i++)
{
if(UFS[i].flag==0) //i号节点未被删除
{
int x=Root(i); //找到i号根节点
for(int j=0;j<UFSSet[0].size();j++) //根节点编号
{
if(x==UFSSet[0][j])
{
UFSSet[j+1].push_back(i);
break;
}
}
}
}
cout<<" 索引编号：";
for(int i=0;i<UFSSet[0].size();i++)
cout<<UFSSet[0][i]<<" ";
cout<<endl;
for(int i=1;i<=UFSBlock;i++)
{
cout<<" BLOCK "<<i<<endl;
for(int j=0;j<UFSSet[i].size();j++)
{
cout<<UFSSet[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
cout<<"UFSBlock Num "<<UFSBlock<<endl;
}
/*
1 如果涉及到删除操作，那么各个函数的调用方式是：
Union(Mapping[a],Mapping[b]);
MakeSet(N)
如果显式调用Root，也需要Mapping[x]; Root(Mapping[x]);
*/
int main()
{
int N=7; //7个点
MakeSet(N);
Dmax=N;
Union1(Mapping[1],Mapping[0]);
Union1(Mapping[1],Mapping[2]);
Union1(Mapping[3],Mapping[4]);
Union1(Mapping[1],Mapping[4]);
Del2(0);
Del2(5);
Del2(0);
Del2(0);
Union2(Mapping[0],Mapping[5]);
for(int i=0;i<Dmax;i++)
{
if(UFS[i].flag==1)
{
cout<<"Index"<<i<<" be deleted"<<endl;
cout<<"Index "<<i<<" parent "<<UFS[i].parent<<" rank "<<UFS[i].flag<<endl;
}
else
cout<<"Index "<<i<<" parent "<<UFS[i].parent<<" rank "<<UFS[i].flag<<endl;
}
reshape();
return 0;
}