各种整数划分问题

各种整数划分问题

1、整数划分问题是将一个正整数n拆成一组数连加并等于n的形式，且这组数中的最大加数不大于n。求划分的个数是基本要求：

// sprit()算法的作用求出它的个数，算法思想是：q(n,m)代表的是最大加数是m的划分的个数
/* *
1、m==1||n==1 q(n,m)=1;
2、m>n q(n,m)=q(n,n)
3 m==n q(n,m)=q(n,m-1)+1;
4 m<n q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m)
* */

int  sprit( int  n, int  m)
{
     if (n == 1 || m == 1 )
         return   1 ;
     if (m > n)
         return  sprit(n,n);
     if (m == n)
         return  sprit(n,m - 1 ) + 1 ;
     if (m < n)
         return  sprit(n,m - 1 ) + sprit(n - m,m);
     return   0 ;
}

 

2、如果对时间复杂性要求高时，可以将其转换为非递归的形式，过程很简单

 

#define  N 20
int  ans[N][N];

void  sprit_1()
{
     int  i,j;
     for (i = 1 ;i < N;i ++ )
         for (j = 1 ;j <= i;j ++ )
        {
             if (i == 1 || j == 1 )
                ans[i][j] = 1 ;
             else   if (i == j)
                ans[i][j] = ans[i][j - 1 ] + 1 ;
             else
            {
                 int  k = (i - j >= j ? j:i - j);
                ans[i][j] = ans[i][j - 1 ] + ans[i - j][k];
            }
        }
}

 

3、/**将正整数划分成连续的正整数之和
  如15可以划分成4种连续整数相加的形式：
  15
  7 8
  4 5 6
  1 2 3 4 5
  划分思想是：设最小的数为x，划分个数为i，有x*i+i(i-1)/2=n,直接列举i即可
  **/ 

void  sprit_2( int  n)
{
     int  i,j,t1,t2,x;
     for (i = 1 ;(t1 = i * (i - 1 ) / 2 ) < n;i ++ )
    {
        t2 = n - t1;
         if (t2 < 0 ) return ;
        x = t2 / i;
         if ((n - t1) % i == 0 )
        {
             for (j = 0 ;j < i;j ++ )
                cout << x + j << "   " ;
            cout << endl;
        }
    }
}

 
4、如果想把它的各种拆分也求出来，思想是用数组a保存结果，每次对指针t指向的数据进行拆分即可。

 

int  a[N];

void  f( int  t)
{
     int  i,j,m;
     for (i = 0 ;i <= t;i ++ )
        cout << a[i] << "   " ;
    cout << endl;
    j = t;m = a[j];
     for (i = a[j - 1 ];i <= m / 2 ;i ++ )
    {
        a[j] = i;a[j + 1 ] = m - i;
        f(j + 1 );
    }
}
void  sprit_3( int  n)
{
     for ( int  i = 1 ;i <= n / 2 ;i ++ )
    {
        a[ 0 ] = i;a[ 1 ] = n - i;
        f( 1 );
    }
}