有向有环图的最小路径覆盖

有向有环图的最小路径覆盖

本文纯属YY……

今天多校联合训练三的C题， http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3861，题意归结起来是在一个有向图中求最小路径覆盖，也就是用尽量少的链去覆盖整个图，每个顶点必须属于且只能属于一条链。但是题意并未说明原图无环。标程解法是强连通分量缩点，再求有向无环图的最小路径覆盖。反例是：1->2,2->3,4->5,5->6,2->5,5->2。正解是2，123一组，456一组。

因为是要求路径数最小，所以YY了一个上下界最小流的做法。构图是将原来的点A0拆成两个，A和A'。从A到A'连一条边，下界和上界都为1。所有原来A0的出边，都从A'出去，下界0，上界1.所有原来A0的入边，都指向A。新建一个源点S，一个汇点T。从S到每个点A连一条边，下界0，上界1。从每个A'到T连一条边，下界0，上界1。

对这个新图求最小流，即为原题所求。

YY的证明：
A->A'，限制了这个点必须经过一次。这条边上的流量有两个来源：其它的点B'，或者源点S，前者说明A和B在同一条链中，B是A的前驱，后者说明A是链的起点。同样，这个流量有两个去处：其它的点C'，或者汇点T，前者说明A和C在同一条链中，C是A的后继，后者说明A是链的终点。

到达汇的每1单位流量，意味着一条链的终结。所以最小流就能让链数最少。

YY完毕，欢迎开炮……


ps. 理论上说，以上方法肯定是错的。要不然求Hamiltion通路就不是NP了＠。＠