最长公共子序列LCS和最长单调递增子序列
0x0 最长公共子序列LCS
【开篇案例】
序列：X={A,B,C,B,D,A,B}
序列：Y={B,C,D,B,A}
序列：Z={B,C,D,B}
序列：W={B,C,D}
Z是（X与Y）的最长公共子序列（Longest-Common-Subsequence），而W虽然是X与Y的公共子序列，但是不是最长的!
【晦涩定义】
给定一个序列X={x1,x2,x3...xm},另一个序列Z={z1,z2,z3...zk}为子序列，如果存在X的
一个严格递增下标序列<i1,i2,i3,i4...ik>，使得所有的j=1,2,...,k,有x[i<j>]=z[j]
例如，Z={B,C,D,B}是X={A,B,C,B,D,A,B}一个最长子序列，相应的下标序列为<2,3,5,7>
如果Z同时是Y的最长子序列，那么Z就是X与Y的最长公共子序列
【应用场景】
生物基因的两条螺旋链的相似度，公共子序列越长，越相似！（Z=X=Y的时候，可以说两条螺旋链完全相同！）
【最优子结构性质】
特征1、如果xm==yn，那么zk == xm == yn ，而且Zk-1是（Xk-1与Yk-1）的一个LCS
特征2、如果xm != yn，那么zk !=xm，推出：Z是（Xm-1和Y）的一个LCS
特征3、如果xm != yn，那么zk !=yn，推出：Z是（X与Yn-1）的一个LCS
这三条特征说明两个序列（X与Y）的LCS，包含这两个序列前缀（Xm-1与Yn 或 Xm与Yn-1 ...）的LCS，
也就是说，LCS具备最优子结构性质！
【递归解性质】
1.xm == yn，那么把xm==yn加入到这个LCS中就得到X,Y的LCS
2.xm!=yn，那么找到（Xm-1与Yn）的一个LCS，和（X与Yn-1）的一个LCS，比较哪个更长取之为XY的一个LCS
这两点可以看出，这个LCS有递归解！
【动态规划】
既满足了最优子结构，又满足了递归解，我们很容易就想到了用动态规划来实现！
定义C[i,j]为Xi，Yj的一个LCS长度！
C[i,j]={ 0 , i ==0 || j == 0
c[i-1,j-1]+1 , i,j>0 && xi == yj
max(c[i,j-1],c[i-1,j]) i,j>0 && xi != yj }
【LCS-Length算法】
LCS-LENGTH(X,Y) m = length[X] n = length[Y] for i= 1 to m do c[i,0] = 0 for j =1 to n do c[0,j] = 0 for i =1 to m do for j=1 to n do if xi == yj then c[i,j] = c[i-1,j-1]+1 b[i,j] = 1 else if c[i-1,j] >= c[i,j-1] then c[i,j] =c[i-1,j] b[i,j] = 2 else then c[i,j] = c[i,j-1] b[i,j] = 3 return c and b
【LCS构造算法】
b[i，j] == 1 表示xi == yi是LCS的一个元素
b[i，j] == 2 表示LCS选择的是c[i-1,j]
b[i，j] == 3 表示LCS选择的是c[i,j-1]
PRINT-LCS(b,X,i,j) if i == 0 || j == 0 then return if b[i,j] == 1 then PRINT-LCS(b,X,i-1,j-1) print xi else if b[i,j] == 2 then PRINT-LCS(b,X,i-1,j) else then PRINT-LCS(b,X,i,j-1)
【C++代码】
#include <iostream>
#define length 7
using namespace std;
int c[length+1][length+1],b[length+1][length+1];
int x_length;
int y_length;
void Length_LCS(int x[],int y[])
{
int m=x_length;
int n=y_length;
for (int i=0; i<=m; i++)
{
c[i][0] = 0;
}
for(int j=0; j<=n; j++)
{
c[0][j] =0;
}
for(int i=1; i<=m; i++)
{
for(int j=1; j<=n; j++)
{
if(x[i] == y[j])
{
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
b[i][j]=1;
}
else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j];
b[i][j]=2;
}
else
{
c[i][j]=c[i][j-1];
b[i][j]=3;
}
}
}
}
void print_LCS(int b[length+1][length+1],int X[length+1],int i,int j)
{
if( i== 0|| j ==0) return ;
if(b[i][j] == 1)
{
print_LCS(b,X,i-1,j-1);
cout<<X[i]<<" ";
}
else if(b[i][j] == 2)
{
print_LCS(b,X,i-1,j);
}
else
{
print_LCS(b,X,i,j-1);
}
}
int main()
{
int X[]= {0,1,2,3,2,4,1,2};
int Y[]= {0,2,4,3,1,2,1};
x_length=7;
y_length=6;
cout<<"This is to test the LCS by ouyang!"<<endl;
Length_LCS(X,Y);
print_LCS(b,X,x_length,y_length);
return 0;
}
0x1 最长单调递增子序列
【与最长公共子序列的关系】
序列X与排完序的X'的最长公共子序列 == 最长单调递增子序列！
重点：排完序的自己！
【C++代码】
#include <iostream>
using namespace std;
void Exchange(int *a,int *b)
{
int t=*a;
*a=*b;
*b=t;
}
int Position(int a[],int p,int r)
{
int t=a[r];
int i=p-1;
bool flag =true;
for(int j=p;j<=r-1;j++)
{
if(a[j]!=t)
{
flag=false;
}
if(a[j] <= t)
{
i++;
Exchange(&a[j],&a[i]);
}
}
Exchange(&a[i+1],&a[r]);
if(!flag) return i+1;
else return (p+r)/2;
}
void QuickSort(int a[],int p,int r)
{
if(p < r)
{
int q=Position(a,p,r);
QuickSort(a,p,q-1);
QuickSort(a,q+1,r);
}
}
#define length 7
int c[length+1][length+1],b[length+1][length+1];
int x_length;
int y_length;
void Length_LCS(int x[],int y[])
{
int m=x_length;
int n=y_length;
for (int i=0; i<=m; i++)
{
c[i][0] = 0;
}
for(int j=0; j<=n; j++)
{
c[0][j] =0;
}
for(int i=1; i<=m; i++)
{
for(int j=1; j<=n; j++)
{
if(x[i] == y[j])
{
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
b[i][j]=1;
}
else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j];
b[i][j]=2;
}
else
{
c[i][j]=c[i][j-1];
b[i][j]=3;
}
}
}
}
void print_LCS(int b[length+1][length+1],int X[length+1],int i,int j)
{
if( i== 0|| j ==0) return ;
if(b[i][j] == 1)
{
print_LCS(b,X,i-1,j-1);
cout<<X[i]<<" ";
}
else if(b[i][j] == 2)
{
print_LCS(b,X,i-1,j);
}
else
{
print_LCS(b,X,i,j-1);
}
}
int main()
{
cout<<"This is to test the 最长子序列 by ouyang!"<<endl;
int X[]= {NULL,1,2,3,2,4,1,2};
int Y[]= {NULL,1,2,3,2,4,1,2};
x_length=7;
y_length=7;
QuickSort(Y,1,7);
Length_LCS(X,Y);
print_LCS(b,X,x_length,y_length);
return 0;
}