2-SAT问题总结

1. http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3207
题意：在一个圆圈上顺时针或逆时针排好N个点(0-->N-1)，现在要以给定的M组端点画M条曲线段，曲线段可在圆内或圆外，判断是否存在一种画法使得这M条曲线段不相交。
分析：每一条曲线段可置于圆内或圆外。这样可用两个顶点分别表示曲线段的摆放情况，例如（顶点2*i表示第i条曲线段置于圆内，顶点2*i+1表示第i条曲线段置于圆外）。
这样对于如下图的两条曲线段 seg[i]=[a,b],seg[j]= [c,d]，seg[i]和seg[j]是不能都置于园内，或都置于圆外的。所以顶点2*i和顶点2*j+1，顶点2*j和顶点2*i+1的真值情况必然相同。

【顺时距离==>用于判断圆内曲线段是否相交】
对于圆内判断是否相交可以这样：如果在a顺时到达b的过程中经过并且只经过了c,d中的一点，那么seg[a,b]和seg[c,d]必然相交。定义顺时距dist[a,b]为a顺时到达b所经过的距离（这个距离可以有几种形式），那么如果 dist[a,c]+dist[c,b]==dist[a,b] 则 “c 在a,b内”，这样如果 c，d中有且只有一点在a,b内，那么seg[a,b]和seg[c,d]必然相交。

POJ_3207
1

#include <iostream>
2

#include <cstring>
3

#include <cstdio>
4

using namespace std;
5

const int max_v=1000+5;
7

const int max_e=500+5;
8

bool g[max_e*2][max_e*2];
10

int N,M;
11

int pos[max_e][2],ord[max_e*2],num,col[max_e*2],color;
12

bool used[max_e*2];
13

int direc(int u,int p,int v)

{ //u顺时针到v是否经过p,如果经过返回1否则返回-1;
15

int dist_up=(p>=u)?(p-u):(p-u+N); int dist_pv=(v>=p)?(v-p):(v-p+N);
16

int dist_sum=(v>=u)?(v-u):(v-u+N);
17

if(dist_up==0||dist_pv==0) return 0; //如果有一个共同点
19

return (dist_up+dist_pv==dist_sum)?1:-1;
20

}
21

void back(int v)

{
23

used[v]=true;
24

col[v]=color;
25

for(int u=0;u<N;u++)

{
26

if(!used[u] && g[u][v])

{
27

back(u);
28

}
29

}
30

}
31

void dfs(int u)

{
32

used[u]=true;
33

for(int v=0;v<N;v++)

{
34

if(!used[v]&&g[u][v])

{
35

dfs(v);
36

}
37

}
38

ord[num--]=u;
39

}
40

int main()

{
41

scanf("%d%d",&N,&M);
42

for(int i=0;i<M;i++)

{
43

scanf("%d%d",&pos[i][0],&pos[i][1]);
44

}
45

memset(g,false,sizeof(g));
46

for(int i=0;i<M;i++)

{
48

for(int j=0;j<M;j++)

{
49

if(i!=j)

{
50

int direc1=direc(pos[i][0],pos[j][0],pos[i][1]);
51

int direc2=direc(pos[i][0],pos[j][1],pos[i][1]);
52

if(direc1*direc2==-1)

{
53

g[2*i][2*j+1]=g[2*j+1][2*i]=true;
54

g[2*j][2*i+1]=g[2*i+1][2*j]=true;
55

}
56

}
57

}
58

}
59

N=M*2; num=M*2-1;
61

memset(used,0,sizeof(used));
63

for(int i=0;i<N;i++) if(!used[i]) dfs(i);
64

memset(used,0,sizeof(used));
65

color=0;
66

for(int i=0;i<N;i++) if(!used[ord[i]])

{
67

back(ord[i]); ++color;
68

}
69

for(int i=0;i<M;i++)

{
71

if(col[2*i]==col[2*i+1])

{
72

printf("the evil panda is lying again\n");
73

return 0;
74

}
75

}
76

printf("panda is telling the truth...\n");
77

return 0;
78

}

另外此题是判定能否将曲线段划分到两个集合中。可以用并查集来写

POJ_3207
1

#include <iostream>
2

#include <cstring>
3

#include <cstdio>
4

using namespace std;
5

const int max_v=1000+5;
7

const int max_e=500+5;
8

int N,M;
11

int pos[max_e][2];
12

int pnt[max_e];
13

int ct[max_e];
14

int direc(int u,int p,int v)

{ //u顺时针到v是否经过p,如果经过返回1否则返回-1;
16

int dist_up=(p>=u)?(p-u):(p-u+N); int dist_pv=(v>=p)?(v-p):(v-p+N);
17

int dist_sum=(v>=u)?(v-u):(v-u+N);
18

if(dist_up==0||dist_pv==0) return 0; //如果有一个共同点
20

return (dist_up+dist_pv==dist_sum)?1:-1;
21

}
22

int findSet(int u)

{
24

if(pnt[u]<0) return u;
25

int tmp=pnt[u];
27

pnt[u]=findSet(pnt[u]);
28

ct[u]=(ct[u]+ct[tmp])%2;
29

return pnt[u]; //It's pnt[u],but not tmp!
31

}
32

void unionSet(int u,int v)

{
34

int pv=findSet(v),pu=findSet(u);
35

pnt[pu]=pv;
36

ct[pu]=(ct[v]-ct[u]+3)%2;
37

}
38

int main()

{
39

scanf("%d%d",&N,&M);
40

for(int i=0;i<M;i++)

{
41

scanf("%d%d",&pos[i][0],&pos[i][1]);
42

}
43

memset(pnt,-1,sizeof(pnt));
45

memset(ct,0,sizeof(ct));
46

for(int i=0;i<M;i++)

{
48

for(int j=i+1;j<M;j++)

{
49

int direc1=direc(pos[i][0],pos[j][0],pos[i][1]);
50

int direc2=direc(pos[i][0],pos[j][1],pos[i][1]);
51

if(direc1*direc2==-1)

{
52

int pi=findSet(i),pj=findSet(j);
53

if(pi==pj && ct[i]!=(ct[j]^1))

{
54

printf("the evil panda is lying again\n");
55

return 0;
56

}else if(pi!=pj)

{
57

unionSet(i,j);
58

}
59

}
60

}
61

}
62

printf("panda is telling the truth

\n");
63

return 0;
64

}
65

2. http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3622 （二分答案+2-sat判定）

HDU_3622_Bomb_Game
1

#include <iostream>
2

#include <cstring>
3

#include <cstdio>
4

#include <cmath>
5

using namespace std;
6

const int max_v=200+5;
8

bool g[max_v][max_v];
9

bool used[max_v];
10

int N;
11

int pos[max_v][2];
12

double dist[max_v][max_v];
13

int color ,col[max_v],num,ord[max_v];
14

double cal(int i,int j)

{
16

double x1=pos[i][0]*1.0,x2=pos[j][0]*1.0,y1=pos[i][1]*1.0,y2=pos[j][1]*1.0;
17

return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));
18

}
19

void back(int v)

{
21

used[v]=true;
22

col[v]=color;
23

for(int u=0;u<N;u++)

{
24

if(!used[u] && g[u][v])

{
25

back(u);
26

}
27

}
28

}
29

void dfs(int u)

{
30

used[u]=true;
31

for(int v=0;v<N;v++)

{
32

if(!used[v] && g[u][v])

{
33

dfs(v);
34

}
35

}
36

ord[num--]=u;
37

}
38

bool isok(double mid_dist)

{
40

memset(g,0,sizeof(g));
42

for(int i=0;i<N;i++)

{
44

for(int j=0;j<N;j++)

{
45

if((i/2)!=(j/2))

{
46

int ai=((i/2)*4+1)-i, bj=((j/2)*4+1)-j;
47

if(dist[i][j]<mid_dist*2.0)

{
48

g[i][bj]=true;
49

g[j][ai]=true;
50

}
51

}
52

}
53

}
54

memset(used,false,sizeof(used));
55

num=N-1;
56

for(int i=0;i<N;i++) if(!used[i]) dfs(i);
57

memset(used,false,sizeof(used));
59

color=0;
60

for(int j=0;j<N;j++) if(!used[ord[j]])

{
61

++color; back(ord[j]);
62

}
63

for(int i=0;i+1<N;i+=2)

{
64

if(col[i]==col[i+1])

{
65

return false;
66

}
67

}
68

return true;
69

}
70

int main()
72

{
73

while(scanf("%d",&N)!=EOF)

{
74

N*=2;
75

for(int i=0;i<N;i++)

{
76

scanf("%d%d",&pos[i][0],&pos[i][1]);
77

}
78

for(int i=0;i<N;i++)

{
79

for(int j=i+1;j<N;j++)

{
80

dist[i][j]=dist[j][i]=cal(i,j);
81

}
82

}
83

double lt=0,rt=15000.0;
86

while(fabs(lt-rt)>(1e-4))

{
88

double mid=(lt+rt)/2.0;
89

if(isok(mid))

{
90

lt=mid;
91

}else

{
92

rt=mid;
93

}
94

}
95

printf("%.2f\n",lt);
96

}
97

return 0;
98

}
99

3. http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2723
二分答案 + 2-sat判定。
最开始我构图不够严谨，只是以用了某个钥匙为顶点。然后判断是不是用了某两个属于同一组的钥匙从而判断是否有解。
其实这样是不够的，因为有解的话并不一定要从同一组钥匙中选一个。所以这样转化成2-sat是不行的，应该将用第i类钥匙和不用第i类钥匙作为图的 p 和 ¬p顶点，这样p和¬p必选其一。

POJ_2723_Get_Luffy_Out
1

#include <iostream>
2

#include <cstdio>
3

#include <cstring>
4

using namespace std;
6

const int max_v=5000;
8

const int max_e=max_v*max_v*4;
9

int beg[2][max_v],match[max_v],next[2][max_e],v[2][max_e],nedge[2];
11

int ord[max_v],col[max_v],color,num; bool used[max_v];
12

int N,M;
13

int pos[max_v*2];
14

void add_edge(int ut,int vt)

{
16

v[0][nedge[0]]=vt; next[0][nedge[0]]=beg[0][ut]; beg[0][ut]=nedge[0]++;
17

v[1][nedge[1]]=ut; next[1][nedge[1]]=beg[1][vt]; beg[1][vt]=nedge[1]++;
18

}
19

void back(int ep)

{
21

used[ep]=true; col[ep]=color;
22

for(int bp=beg[1][ep];bp!=-1;bp=next[1][bp])

{
23

int vt=v[1][bp];
24

if(!used[vt])

{
25

back(vt);
26

}
27

}
28

}
29

void dfs(int bp)

{
30

used[bp]=true;
31

for(int ep=beg[0][bp];ep!=-1;ep=next[0][ep])

{ int vt=v[0][ep];
32

if(!used[vt])

{
33

dfs(vt);
34

}
35

}
36

ord[num--]=bp;
37

}
38

bool isok(int T)

{
39

memset(beg,-1,sizeof(beg)); nedge[0]=nedge[1]=0;
40

for(int i=0;i<2*N;i++)

{
42

if(i<match[i])

{
43

add_edge(2*i,2*match[i]+1); //用i就不用match[i];
44

add_edge(2*match[i],2*i+1); //用match[i]就不用i;
45

}
46

}
47

for(int i=0;i+1<2*T;i+=2)

{ //要打开第i扇门，至少用这一组钥匙中的一个。
48

add_edge(2*pos[i]+1,2*pos[i+1]);
49

add_edge(2*pos[i+1]+1,2*pos[i]);
50

}
51

for(int i=0;i<2*T;i++)

{
52

for(int j=i+1;j<2*T;j++)

{
53

if((i/2)!=(j/2) && match[pos[i]]==pos[j])

{//不同的两条门中有两个钥匙属于同一组
54

int partner_i=((i/2)*4+1)-i,partner_j=((j/2)*4+1)-j;
55

add_edge(2*pos[i],2*pos[partner_j]); //用pos[i]就必须用pos[partner_j];
56

add_edge(2*pos[j],2*pos[partner_i]); //用pos[j]就必须用pos[partner_i];
57

}
58

}
59

}
60

memset(used,0,sizeof(used));
61

num=4*N-1;
62

for(int i=0;i<4*N;i++)

{
63

if(!used[i]) dfs(i);
64

}
65

memset(used,0,sizeof(used));
66

color=0;
67

for(int i=0;i<4*N;i++)

{
68

if(!used[ord[i]])

{
69

color++; back(ord[i]);
70

}
71

}
72

for(int i=0;2*i+1<4*N;i+=2)

{ //不能既用i又不用i
73

if(col[2*i]==col[2*i+1])

{
74

return false;
75

}
76

}
77

return true;
78

}
79

int main()
81

{
82

while(scanf("%d%d",&N,&M),(N+M))

{
83

int ut,vt;
84

for(int i=0;i<N;i++)

{
85

scanf("%d%d",&ut,&vt);
86

match[ut]=vt; match[vt]=ut;
87

}
88

for(int i=0;i<M;i++)

{
89

scanf("%d%d",&pos[2*i],&pos[2*i+1]);
90

}
91

int lt=1,rt=M;
92

while(lt<=rt)

{
93

int mid=(lt+rt)/2;
94

if(isok(mid))

{
95

lt=mid+1;
96

}else

{
97

rt=mid-1;
98

}
99

}
100

printf("%d\n",rt);
101

}
102

103

return 0;
104

}
105

4. http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2749 （二分+ 2SAT）
牛i 连S1和S2分别为顶点Pi 和¬Pi之后二分就行（第一次WA后发现没用memcpy将信息备份那个nedge一直在增加，第二次WA后发现竟然将enemy和friend的输入顺序搞反了，太没素质了。悲剧)。

POJ_2749_Building roads
1

#include <iostream>
2

#include <cstdio>
3

#include <cstring>
4

using namespace std;
5

const int max_v=2000+5;
7

const int max_e=max_v*max_v*4;
8

int coord[max_v][2];
9

int s[2][2];
10

int beg[2][max_v],next[2][max_e],v[2][max_e],nedge[2];
11

int beg_backup[2][max_v],nedge_backup[2];
12

bool used[max_v]; int ord[max_v],num,col[max_v],color;
13

int dist[max_v],dist_s1_s2;
14

int N,M,K;
15

int cal(int a[],int b[])

{
17

return abs(a[0]-b[0])+abs(a[1]-b[1]);
18

}
19

void back(int ep)

{
21

used[ep]=true; col[ep]=color;
22

for(int i=beg[1][ep];i!=-1;i=next[1][i])

{ int vt=v[1][i];
23

if(!used[vt])

{
24

back(vt);
25

}
26

}
27

}
28

void dfs(int bp)

{
29

used[bp]=true;
30

for(int i=beg[0][bp];i!=-1;i=next[0][i])

{ int vt=v[0][i];
31

if(!used[vt])

{
32

dfs(vt);
33

}
34

}
35

ord[num--]=bp;
36

}
37

void add_edge(int ut,int vt)

{
40

v[0][nedge[0]]=vt; next[0][nedge[0]]=beg[0][ut]; beg[0][ut]=nedge[0]++;
41

v[1][nedge[1]]=ut; next[1][nedge[1]]=beg[1][vt]; beg[1][vt]=nedge[1]++;
42

}
43

bool isok(int mid_dist)

{
45

memcpy(beg,beg_backup,sizeof(beg)); memcpy(nedge,nedge_backup,sizeof(nedge));
47

for(int i=0;i<2*N;i++)

{
48

for(int j=i+1;j<2*N;j++)

{
49

if((i/2)!=(j/2))

{
50

int part_i=((i/2)*4)+1-i,part_j=((j/2)*4)+1-j;
51

if( (i+j)%2==0 && dist[i]+dist[j]>mid_dist)

{//同一个节点
53

add_edge(i,part_j); add_edge(j,part_i);
54

}else if( (i+j)%2 && dist[i]+dist[j]+dist_s1_s2>mid_dist)

{
55

add_edge(i,part_j); add_edge(j,part_i);
56

}
57

}
58

}
59

}
60

memset(used,0,sizeof(used));
62

num=2*N-1;
63

for(int i=0;i<2*N;i++)

{
64

if(!used[i]) dfs(i);
65

}
66

memset(used,0,sizeof(used));
68

color=0;
69

for(int i=0;i<2*N;i++)

{
71

if(!used[ord[i]])

{
72

color++; back(ord[i]);
73

}
74

}
75

for(int i=0;i+1<2*N;i+=2)

{
77

if(col[i]==col[i+1]) return false;
78

}
79

return true;
81

}
82

int main()
83

{
84

// freopen("in.txt","r",stdin); freopen("out.txt","w",stdout);
85

while(scanf("%d%d%d",&N,&M,&K)!=EOF)

{
86

scanf("%d%d%d%d",&s[0][0],&s[0][1],&s[1][0],&s[1][1]);
88

dist_s1_s2=cal(s[0],s[1]);
89

for(int i=0;i<N;i++)

{
91

scanf("%d%d",&coord[i][0],&coord[i][1]);
92

}
93

int ut,vt;
94

memset(beg,-1,sizeof(beg));
95

nedge[0]=nedge[1]=0;
96

for(int i=0;i<M;i++)

{//连接不同节点
97

scanf("%d%d",&ut,&vt);
98

ut--; vt--;
99

add_edge(ut*2,vt*2+1); add_edge(ut*2+1,vt*2);
100

add_edge(vt*2,ut*2+1); add_edge(vt*2+1,ut*2);
101

}
102

103

for(int i=0;i<K;i++)

{//ut,vt连通一个节点
104

scanf("%d%d",&ut,&vt);
105

ut--; vt--;
106

add_edge(ut*2,vt*2); add_edge(vt*2,ut*2); //同为S1
107

add_edge(ut*2+1,vt*2+1); add_edge(vt*2+1,ut*2+1); //同为S2
108

}
109

110

memcpy(beg_backup,beg,sizeof(beg)); memcpy(nedge_backup,nedge,sizeof(nedge));
111

112

int max_dist=dist_s1_s2,min_dist=(1<<30);
113

114

for(int i=0;i<N;i++)

{
115

dist[2*i]=cal(coord[i],s[0]);
116

dist[2*i+1]=cal(coord[i],s[1]);
117

max_dist=max(max_dist,dist[2*i]); max_dist=max(max_dist,dist[2*i+1]);
118

min_dist=min(min_dist,dist[2*i]); min_dist=min(min_dist,dist[2*i+1]);
119

}
120

121

if(!isok(1<<30))

{
122

printf("-1\n");
123

continue;
124

}
125

126

int lt=min_dist*2,rt=max_dist*3;
127

128

while(lt<=rt)

{
129

int mid=(lt+rt)/2;
130

if(isok(mid))

{
131

rt=mid-1;
132

}else

{
133

lt=mid+1;
134

}
135

}
136

printf("%d\n",lt);
137

}
138

return 0;
139

}
140

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