计算几何【转】

这两天在学习计算几何，随便说说自己的学习过程吧。

　　基本的叉积、点积和凸包等东西就不多说什么了，网上一搜一大堆，切一些题目基本熟悉了就差不多了。

　　一些基本的题目可以自己搜索，比如这个blog：http://blog.sina.com.cn/s/blog_49c5866c0100f3om.html

　　接下来，研究了半平面交，思想方法看07年朱泽园的国家队论文，模板代码参考自我校大牛韬哥：

http://www.owent.net/2010/10/acm-%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%87%A0%E4%BD%95-%E4%B8%AA%E4%BA%BA%E6%A8%A1%E6%9D%BF.html

　　一些半平面交的题目：

　　POJ 3335 Rotating Scoreboard
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3335

　　POJ 3130 How I Mathematician Wonder What You Are!
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3130

　　POJ 1474 Video Surveillance
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1474
　　知识点：半平面交求多边形的核，存在性判断

　　POJ 1279 Art Gallery
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1279
　　半平面交求多边形的核，求核的面积

　　POJ 3525 Most Distant Point from the Sea （推荐）
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3525
　　给出一个多边形，求里面的一个点，其距离离多边形的边界最远，也就是多边形中最大半径圆。
　　解法：可以使用半平面交+二分法解。二分这个距离，边向内逼近，直到达到精度。

　　POJ 3384 Feng Shui （推荐）
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3384
　　半平面交实际应用，用两个圆覆盖一个多边形，问最多能覆盖多边形的面积。
　　解法：用半平面交将多边形的每条边一起向“内”推进R，得到新的多边形，然后求多边形的最远两点。

　　POJ 1755 Triathlon （推荐）
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1755
　　半平面交判断不等式是否有解。注意不等式在转化时正负号的选择，这直接影响到半平面交的方向。

　　POJ 2540 Hotter Colder
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2540
　　半平面交求线性规划可行区域的面积。

　　POJ 2451 Uyuw’s Concert
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2451
　　Zzy专为他那篇nlogn算法解决半平面交问题的论文而出的题目。

 

　　(以上题目来自别人的blog，后面还有几题是我自己找到的)

　　POJ 1271 Nice Milk 　　http://poj.org/problem?id=1271 　　黑书习题
  　　UVA 11722 Joining with Friend 　　http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=117&page=show_problem&problem=2769 　　概率问题，这个规模用半平面交有点浪费，不过就当练习了
  　　USACO 2010 MARCH GOLD StarCowraft 　　http://61.187.179.132:8080/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1829   　　

 

               

　　接下来稍微弄了一下坐标旋转的问题，具体可以参考武汉大牛的博文http://dumbear.com/blog/?p=143

　　坐标旋转题目切得不多

　　HDU 1700 Points on Cycle 　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1700 　　比较基础的一道题   　　POJ 3845 Fractal 　　http://poj.org/problem?id=3845 　　注意eps的取值   　　POJ 1133 Stars 　　http://poj.org/problem?id=1133   　　Harbin Online Contest 2010 　　http://acm.hrbeu.edu.cn/index.php?act=problem&id=1006&cid=16 　　三维坐标旋转。这个要有账号才能提交，还有就是Sample Input 中第二个Sample的“275”改成“270”   　　HDU 3623 Covering Points (2010天津网络赛C题) 　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3623 (航电没有这题了) 　　http://acm.tju.edu.cn/toj/showp3740.html 
　　FZU 2002 Shade of Hallelujah Mountain (2010福州regional) 　　http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2002
　　HDU 4087 ALetter to Programmers (2011 北京现场赛) 　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4087 　　三维旋转矩阵 + 矩阵加速

 

 

 

　　然后是旋转卡壳，一个很好的学习网站http://cgm.cs.mcgill.ca/~orm/rotcal.html（不过是英文的），后来找到一个大牛的blog里有部分翻译http://blog.csdn.net/ACMaker，综合起来看了一下，收益良多啊。

　　一些旋转卡壳的题目

　　POJ 2187 Beauty Contest
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2187
　　凸包求最远点对。可以暴力枚举，也可以使用旋转卡壳。

　　POJ 3608 Bridge Across Islands
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3608
　　两个凸包的最近距离。

　　上面两题可以参考blog：http://www.cppblog.com/staryjy/archive/2009/11/19/101412.html（上面代码很不错）

　　POJ 2079 Triangle 　　http://poj.org/problem?id=2079 　　这题以为O(N^2)的复杂度会超时，结果就是O(N^2)复杂度
  　　UVA 10173 　　http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&category=13&problem=1114&mosmsg=Submission+received+with+ID+8029560 　　给定点集S,求S的最小覆盖矩形   　　  

　　然后看了一些扫描线之类的东西。

　　推荐几道比不错的题目：

　　POJ 2932 Coneology 　　http://poj.org/problem?id=2932   　　HDU 3124 Moonmist 　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3124 　　最近圆对问题（二分 + 扫描线）
　　HDU 3867 Light and Shadow 　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3867 　　(按极角扫描)注意-PI和PI的位置分割

　　下面看了一些随机算法：（08年顾研论文-《浅谈随机化思想在几何问题中的应用》）

 　　　　（1）随机增量法：这个算法很犀利啊，把一些计算几何的问题降了一个n复杂度。（典型的有最小圆覆盖）

　　　　　　　　网上找了最小圆覆盖的随机增量算法，里面代码倒是不错，就是解释的不是很清楚，推荐看《计算几何算法与应用(第3版)》（邓俊辉译，清华大学出版社出版）中第91页“4.7最小包围圆”这个章节中的内容，比较详细也很清楚，代码我参考了这个blog的http://blog.csdn.net/pvpishard/archive/2011/01/27/6167262.aspx

　　　　（2）模拟退火：参考顾研论文

　　　　　　模拟退火的题目：

　　　　　　POJ 1379 Run Away 　　　　　　http://poj.org/problem?id=1379   　　　　　　POJ 2420 A Star not a Tree? 　　　　　　http://poj.org/problem?id=2420   　　　　　　URAL 1520 Empire Strikes Back（推荐） 　　　　　　http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1520 　　　　　　顾研论文例题，不错的题目   　　　　　　POJ 2069 Super Star 　　　　　　http://poj.org/problem?id=2069 　　　　　　此题我WA和TLE了很多次   　　　　　　POJ 3301 Texas Trip 　　　　　　http://poj.org/problem?id=3301 　　　　　　这题也可以用三分 　　　　　　 　　　　　　SPOJ 4409 Circle vs Triangle 　　　　　　https://www.spoj.pl/problems/AREA1/ 　　　　　　模拟退火 + 解析几何   　　　　　　POJ 3285 Point of view in Flatland 　　　　　　http://poj.org/problem?id=3285 　　　　　　这题的难点在于找到合适的评估函数，当然这题也可以通过解方程组来做   　　　　　　POJ 2600 Geometrical dreams 　　　　　　http://poj.org/problem?id=2600 　　　　　　这题不是模拟退火的题，但是可以用模拟退火过。非模拟退火的方法也不难          

　　解析几何，平面最近点对，。。。这些搞得也不是很深入。

   

　　

　　折纸问题 参见大牛dumbear的blog http://dumbear.com/blog/?p=249

　　两道题目

　　POJ 1921 Paper Cut 　　http://poj.org/problem?id=1921 　　这题相对下一题还算比较好做   　　POJ 3806 Origami Through-Hole 　　http://poj.org/problem?id=3806 　　这题处理有点麻烦，我调试了很久才过   　 　            

　　圆的面积并和交，详细可以看AekdyCoin大牛的blog

　　圆的面积并：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/c1b28e3711246b3f0b55a95e.html

　　圆的面积交：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/12267a4e9476153bafc3abbd.html

　　题目：

　　SPOJ 8073 The area of the union of circles 　　https://www.spoj.pl/problems/CIRU/   　　SPOJ 3863 Area of circles 　　https://www.spoj.pl/problems/VCIRCLES/
　　SPOJ 8119 CIRU2 　　https://www.spoj.pl/problems/CIRUT/ 　　圆面积并的拓展   　　HDU 3467 Song of the Siren 　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3467   　　HDU 3239 Jiajia's Robot (推荐) 　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3239 　　很巧妙的一道题，我是看了AC大牛blog中的留言才知道到方法的。 　   方法见AC大牛blog中的一条留言：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/12267a4e9476153bafc3abbd.html     　　

　　凸多边形的面积并

　　先看了AC大牛的blog学会了O(N^3)的方法，后来在做Codeforces的时候发现有O(N^2*logN)的方法，而且也不繁琐

　　AC大牛的博文：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/fbe5a03232c71952ad4b5fcc.html

　　Codeforces Round #83 DIV1 的 E题用O(N^3)的方法过不掉第49组数据，然后研究了其他大牛的凸多边形交的代码

　　http://codeforces.com/contest/107/status/E

　　先是看了dagon的代码发现其实他的代码有问题，Codeforces的数据居然没有查出来。然后看了syntax_error的代码，

　　发现他是用类似梯形剖分的方法做的，复杂度O(N^2*logN)，果断就学习了

　　题目：http://codeforces.com/contest/107/problem/E

　　有关细节：http://www.cnblogs.com/ch3656468/archive/2011/10/17/2215551.html

 
　　
   

　　有一类题目是给出一些点，并告诉你哪些点之间有连线，并且这些连线段之间除端点之外没有其他交点（有时候这些线段是要自己处理出来的）。

 　　然后题目要你求

　　　　1 每小块多边形的面积

　　　　2 有多少个K多边形内部不含点和线段

　　　　3 这些线段围成的图形的轮廓线

　　这类题目的方法都差不多，在很多大牛的blog里都可以找到类似的方法。

　　比如：　gccfeli大牛的blog：http://gccfeli.cn/2007/09/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%87%A0%E4%BD%95-pku1092-%E5%A5%87%E7%89%B9%E7%9A%84%E6%8A%80%E5%B7%A7.html

　　　　　　watashi大牛的blog：http://watashi.ws/blog/970/andrew-stankevich-3-solution/

　　　　　　Isun大牛的blog：http://hi.baidu.com/xh176233756/blog/item/29652646f0e870006a63e5cb.html

　　题目：

　　POJ 1092 Farmland 　　http://poj.org/problem?id=1092
　　ZOJ 2361 Areas / SGU 209 　　http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2361 　　不错的一题，watashi的blog里有解题报告   　　POJ 3743 LL’s cake 　　http://poj.org/problem?id=3743   　　POJ 2164 Find the Border 　　http://poj.org/problem?id=2164
   

　　三维几何

　　网上有关三维几何的内容很少阿，代码和题目基本都不怎么能搜到，我也就切了不多的几题

　　前面坐标旋转里的两到题：

 

　　　　Harbin Online Contest 2010 　　　　http://acm.hrbeu.edu.cn/index.php?act=problem&id=1006&cid=16 　　　　三维坐标旋转。这个要有账号才能提交，还有就是Sample Input 中第二个Sample的“275”改成“270”
　　　　FZU 2002 Shade of Hallelujah Mountain (2010福州regional) 　　　　http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2002  
　　SGU 110 Dungeon 　　http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=110 　　三维光线反射   　　FZU 1981 Three kingdoms (2010福州网络赛) 　　http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1981 　　坐标映射，我一开始用map一直TLE，只好改成不用map的代码    　　UVA 11275 3D Triangles 　　http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=24&page=show_problem&problem=2250 　　HDU 4042是这题的加强版，我使用同样的代码AC的 　　对于这题题目中诡异的精度0.000001我并没有特别处理   　　HDU 4042 Fireworks (2011北京网络赛) 　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4042 　　很不错的题目 (解题报告：http://hi.baidu.com/%D0%A1%CE%E4rj/blog/item/0114bb2dcd4cdef78b13991d.html)   　　HDU 4087 ALetter to Programmers (2011 北京现场赛) 　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4087 　　三维旋转矩阵 + 矩阵加速

 

　　其他一些题目：

　　EOJ 283 Target Practice 　　http://202.120.106.94/onlinejudge/problemshow.php?pro_id=283 　　搜索 + 几何   　　POJ 1688 Dolphin Pool 　　http://poj.org/problem?id=1688 　　这题有好几种做法   　　POJ 1981 Circle and Points 　　http://poj.org/problem?id=1981 　　很经典的一道题目   　　POJ 3675 Telescope 　　http://poj.org/problem?id=3675 　　圆和多边形的公共面积   　　POJ 1259 The Picnic 　　http://poj.org/problem?id=1259 　　最大凸洞，计算几何 + DP   　　POJ 1586 Three Sides Make a Triangle 　　http://poj.org/problem?id=1586 　　题目内容很简单，方法也很明显，不过想AC可不容易，精度很恶心的一题，我是看了discuss才过的 　　 　　HDU 3629 Convex （推荐） 　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3629 　　一道不错的题目，这题有两种思路： 　　　　1)http://apps.topcoder.com/wiki/display/tc/TCO%2710+Online+Round+4 　　　　2)http://www.owent.net/2010/09/the-35th-acmicpc-asia-regional-tianjin-site-%E2%80%94%E2%80%94-online-contest-1009-convex-%E8%A7%A3%E9%A2%98%E6%8A%A5%E5%91%8A.html
  　　HDU 3644 A Chocolate Manufacturer's Problem (2010杭州网络赛) 　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3644 　　本来想用模拟退火水一下的，结果徘徊于WA和TLE之间无法AC   　　FZU 1973 How many stars (推荐) (2010福州网络赛) 　　http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1973 　　比较经典的一道题目   　　POI2007 对称轴osi 　　http://www.zybbs.org/JudgeOnline/problem.php?id=1100 　　很犀利的一道题目，题意是判多边形的对称轴个数，原来做的这种题目都是用O(N^2)的复杂度来解的， 　　这次O(N^2)果断不行，加随机化也过不了，最后在解题报告的指导下才搞定这题。第一次发现计算几何 　　的问题居然还能用字符串的方法解。 　　网上搜到的解题报告：http://hi.baidu.com/nplusnplusnplu/blog/item/d260baef2e9e9c5879f055cb.html    

　　下次再搞计算几何的时候会更加深入一些。