Mean Value coordinates

Mean Value coordinates

        针对 Wachspress 坐标只能定义在凸多边形上， Floater^[11,12] 等运用均值理论定义了任意多面体的重心坐标， Ju^[13] 等人在此基础上对空间三角形网格的 MVC 作了详细研究。 MVC 定义如下：以多面体内的点 为中心做一个单位球 ，多面体上任意点 与 形成的单位方向向量 构成单位球 上的单位法向。根据 Stokes 公式，球上所有单位法向的积分为 0 ，我们可以得到 的表达式

            (3)

对于多面体上参数化的点可以表示为，我们考虑多面体的一个三角形面，对应的三个顶点为，即为该三角形的经典重心坐标。三角形单位球上的投影为球面三角形，与三个顶点形成的方向向量可以组成一个楔形，如图 1所示。从而可以离散化为

                      (4)

其中，。

图 1 均值坐标对应的楔形图

         在球面三角形上定义一个均值向量，其中。根据均值理论，，可以得到，最后归一化得到相对于多面体上顶点的重心坐标。

         由于在均值坐标的建立过程中，多面体上点与任意点之间采用欧氏距离，当多面体为凹时，此距离包含了多面体的外部，从而均值坐标不满足内部局部性。同时均值向量和多面体表面的法向一致，当多面体为凹时，均值坐标可能为负，因此均值坐标不满足非负性。