合并同余方程组(模不互素)

合并同余方程组(模不互素)

对于方程组

• x = a (mod p)
• x = b (mod q)

其中p, q互素。

可以采用中国剩余定理， x = q * Eq * a + p * Ep * b (mod pq ) , 其中 Eq * q + Ep * p = 1;

而模不互素的情况，却有类似的形式：

• x = a (mod pd)
• x = b (mod qd)

其中p, q互素, d > 1。

如果d 不整除 a - b, 则无解, 否则
x = q * Eq * a + p * Ep * b ( mod pqd ) , 其中 Eq * q + Ep * p = 1;


可以验算这个构造解是适合上面两个方程的。

比如验算第一个方程：
首先变形得到 x = (1 - Ep * p ) * a + Ep * p * b  (mod pd);
又有：x = a + Ep * p *( b - a )   (mod pd);
又有：d | (b - a)  所以 pd | p*(b - a)
所以 x = a ( mod pd ) 

也可以证明x 模上 pqd 具有唯一解