Burnside定理

Burnside定理

pku 2154 Color
   burnside是一种计数方法，用来计算含有不等价类的数量， 简单说就是对于每个置换 fi ，他都对一定量的着色无效（该着色经过fi置换不变），设这些着色数量为ai，  所有ai的平均数就是不等价类的数量， 当然也可以变换求和顺序， 先考虑每中着色， 再求他的稳定核， 但一般情况是置换数很少， 着色数很多， 所以前者很常用
   这道题是比较经典的循环排列计数，有 N 个置换{ P^0 = r, P^1, P^2, P^(n-1)} r为单位置换
   写个小程序观察 ，发现 P^x 的循环结恰好是gcd（x , N）

   这样我们就有一个较好的求和式子 ：
                                      
   但N可到10^9，这个求和式直接用不现实，继续观察，发现这些数都是N的约数，自然会想改变求和顺序，先考虑每个约数，我又写了个小程序输出每个约数的数量（一开始就知道他大概跟欧拉数有关系，但没有发现明显的积性），打出表来一看，原来因子x的数量是Phi（N/x）；这样式子就变成了                   

     φ(N/pi)就是 1 -- N 中所有满足gcd(i,N)=pi 的 i 的个数
                      (Hint gcd（i,N）=pi 等价于 gcd(i/pi,N/pi)=1 )

   要约数尽量的多，就要不同的素因子尽量多，N最多不会有10个不同的素因子，约数不会超过1024个，而且约数越多，约数就会变小，求约数的欧拉数虽然是O( sqrt(N) )的，但需要对于其中一个约数计算超过20次的不会超过3个，有了这些估计，虽然具体的算法复杂度不知道， 我决定冒险试试，应该不会超时。结果跑了600ms，还是比较理想的