POJ 2008 Moo University - Team Tryouts 牛题

POJ 2008 Moo University - Team Tryouts 牛题

思路：
这道题目的解法非常牛逼。刚一看题就知道做不出来了，所以就在这个博客
http://hi.baidu.com/findthegateopen/
找到了一份解题报告。下面的内容都是基于原作者的代码参考出来的。感谢原作者的代码！

朴素的做法是O(N^3)的复杂度。usaco官方的算法是O(N^2)的复杂度。原作者的代码跑了不到100ms，应该说是相当不错了！

首先，要把所有牛放到坐标系上来表示。目的，就是求出包含最多点的直角三角形。
直角三角形的两条直角边上都必须有点，也就是一组牛中的具有最小height的点和具有最小width的点。
直角三角形的边长也是固定的，cw = C/B，ch = C/A。这个还好说，从那个限制条件可以推出来的。初中都学过，呵呵。



Step1：求出经过一个点的所有可能存在的三角形。
其实也就是在该点下方的灰色区域中选择点来确定一个三角形。

Step2：求出经过一个点的所有可能存在的三角形中，最多包含的点数。
解法相当精妙。

求一个三角形内的点数，可以分解为一个矩形内的点数减去一个梯形内的点数。

用这个方法，求出最上面那个三角形的点数之后。可以继续递推得到下面其他三角形的点数。

也就是加上一个矩形，再减去一个梯形。
如果点按照高度排序以后，那么后面矩形里的点一定是后出现的。这样就可以做到随时增加矩形。
但是减去梯形这个操作，就难理解一点，把点按照A*H + B*W来排序，就能保证后面梯形里的点一定是后出现的。

可见，A*H + B*W 值的大小决定了他们的位置分布。完全可以保证这个顺序。
这种数形结合的方法实在是相当精妙！

那我们就可以首先求出第一个三角形的点数，然后接下来的三角形就根据减去梯形，和增加矩形的操作，来做小的调整就可以了。
在代码里面的表现形式就是维护两个指针，不断向后移，中间剔除横坐标不在范围之内的点。
这个操作的复杂度是O(N)。
对所有点执行一次，故算法的复杂度是O(N^2)。


代码：

/**/ /*
 *    本代码参考自 http://hi.baidu.com/findthegateopen/
 *    中的代码，感谢原作者的代码！
 */
#include  < stdio.h >
#include  < stdlib.h >

#define  MAX_N 1024

struct  node  {
    int w, h, k;
} ;

struct  node  in [MAX_N],  * sort_h[MAX_N],  * sort_k[MAX_N];
int  A, B, C, N, ch, cw, ans, box, slash, cnt;

int  cmp_h( const   void   * a,  const   void   * b)
{
    return (*(struct node **)b)->h - (*(struct node **)a)->h;
}

int  cmp_k( const   void   * a,  const   void   * b)
{
    return (*(struct node **)b)->k - (*(struct node **)a)->k;
}

__inline  void  update( int  h,  int  w)
{
    int k;

    for ( ; box < N && sort_h[box]->h >= h; box++)
        if (sort_h[box]->w >= w && sort_h[box]->w <= w + cw)
            cnt++;
    k = A * h + B * w + C;
    for ( ; slash < N && sort_k[slash]->k > k; slash++)
        if (sort_k[slash]->w >= w && sort_k[slash]->w <= w + cw)
            cnt--;
    if (cnt > ans)
        ans = cnt;
}

__inline  void  calc( int  i)
{
    int h, w;

    box = 0;
    slash = 0;
    cnt = 0;
    h = sort_h[i]->h;
    w = sort_h[i]->w;
    for ( ; i < N && sort_h[i]->h >= h - ch; i++) 
        if (sort_h[i]->w >= w && sort_h[i]->w <= w + cw)
            update(sort_h[i]->h, w);
}

int  main()
{
    int i;

    freopen("e:\\test\\in.txt", "r", stdin);

    scanf("%d%d%d%d", &N, &A, &B, &C);
    cw = C/B;
    ch = C/A;
    for (i = 0; i < N; i++) {
        scanf("%d%d", &in[i].h, &in[i].w);
        in[i].k = A * in[i].h + B * in[i].w;
        sort_h[i] = &in[i];
        sort_k[i] = &in[i];
    }
    qsort(sort_h, N, sizeof(sort_h[0]), cmp_h);
    qsort(sort_k, N, sizeof(sort_k[0]), cmp_k);

    for (i = 0; i < N; i++)
        calc(i);
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}