Floyd算法
最近在准备招聘的时候看到了华为的一道关于floyd算法的题，故在想总结一下这个算法以加深我对这个算法的理解。
Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。该算法的核心思想主要由三重循环构成，故该算法的时间复杂度为O（n^3）.
其状态转移方程如下： map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}
map[i,j]表示i到j的最短距离，k是i，j的穷举断点。
其实说到底这个算法并不难，就是通过简单的穷举来吧加权图中所有的顶点都遍历一次，并更新每个顶点间的最短距离。
算法剖析：
Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能：
1是直接从A到B，
2是从A经过若干个节点X到B。
所以，我们假设dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点X，我们检查dis(AX) + dis(XB) < dis(AB)是否成立，如果成立，证明 从A到X再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置dis(AB)= dis(AX) +dis(XB)，这样一来，当我们遍历完所有节点X，dis(AB)中记录的便是A到 B的最短路径的距离。
注意点
三个循环的求中间点的K的循环必须放在外面。
因为如果放在内层，对于A—B之间的经过AX和BX的还没有求到最小值，所以A—B最后不是最小值
好吧，下面我们就以华为的一道上机考试题作为代码示例。（代码参考网上的一位网友的，个人认为写得不错。）
题目：
地铁换乘
已知2条地铁线路，其中A为环线，B为东西向线路，线路都是双向的。经过的站点名分别如下，两条线交叉的换乘点用T1、T2表示。编写程序， 任意输入两个站点名称，输出乘坐地铁最少需要经过的车站数量（含输入的起点和终点，换乘站点只计算一次）。
地铁线A（环线）经过车站：A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 T1 A10 A11 A12 A13 T2 A14 A15 A16 A17 A18
地铁线B（直线）经过车站：B1 B2 B3 B4 B5 T1 B6 B7 B8 B9 B10 T2 B11 B12 B13 B14 B15
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <string>
/*
Author : 俗人
Time ： 2013/9/2
description : 地铁换乘问题
已知2条地铁线路,其中A为环线,B为东西向线路,线路均为双向,
换乘点为 T1,T2,编写程序,任意输入两个站点名称,输出乘坐地铁
最少所需要经过的车站数量
A(环线):A1...A9 T1 A10...A13 T2 A14...A18
B(直线):B1...B5 T1 B6...B10 T2 B11...B15
样例输入:A1 A3
样例输出:3
*/
using namespace std;
//无向图的数据结构
struct Graph
{
int arrArc[100][100]; //邻接矩阵
int verCount; //点数
int arcCount; //边数
};
//FLOYD算法 求任意两点最短路径矩阵
void floyd(Graph *p,int dis[100][100]){
for(int k = 1;k <= p->verCount;k++)
for(int i = 1; i <= p->verCount;i++)
for(int j = 1;j <= p->verCount;j++)
{
//存在更近的路径，则更新
if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
}
}
//站名字符串转节点编号
int char_to_int(string s){
string s1[38] = {"A0","A1","A2","A3","A4","A5","A6","A7","A8","A9","A10",
"A11","A12","A13","A14","A15","A16","A17","A18",
"B1","B2","B3","B4","B5","B6","B7","B8","B9","B10",
"B11","B12","B13","B14","B15","T1","T2"} ;
for(int i=1 ; i <= 38;i ++){
if (s == s1[i])
return i;
}
return -1;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
Graph g;
g.verCount = 37;
g.arcCount = 35;
cout<<"number of ver:"<<g.verCount<<" number of arc:" <<g.arcCount<<endl;
//初始化邻接矩阵
for(int i = 1;i<=g.verCount;i++)
{ for(int j = 1;j<=g.verCount;j++)
{
//i到本身的距离为0
//不同节点值为不可达
if(i==j) g.arrArc[i][i]= 0;
else
g.arrArc[i][j] = 65535;
}
}
//输入A环线个点相连情况 每个边权重都为1
int a[21] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,34,10,11,12,13,35,14,15,16,17,18,1};
for(int i=0;i<20;i++)
{
g.arrArc[a[i]][a[i+1]] = 1;
g.arrArc[a[i+1]][a[i]] = 1;
}
//输入B线个点相连情况 每个边权重都为1
int b[17] = {19,20,21,22,23,34,24,25,26,27,28,35,29,30,31,32,33};
for(int i=0;i<16;i++)
{
g.arrArc[b[i]][b[i+1]] = 1;
g.arrArc[b[i+1]][b[i]] = 1;
}
//计算邻接矩阵
floyd(&g,g.arrArc);
cout << "请输入起始站点:" <<endl;
string start;
string end;
cin >> start >> end;
cout << g.arrArc[char_to_int(start)][char_to_int(end)] <<endl;
system("PAUSE");
return EXIT_SUCCESS;
}