类型:计算几何 难度:2
题目:
Apple
Time Limit : 10000/5000ms (Java/Other) Memory Limit : 65535/32768K (Java/Other)
Problem Description
小H是一个程序员,但他的生活不局限在写程序。
有一天,他走到公园散步。他见到公园的一棵苹果树上结满了苹果。他于是拿起石头,想砸几个苹果下来当第二天的早餐。突然他思考到了一个问题:怎样才能一次砸到最多苹果?
我们考虑该局面是这样一个模型:所有东西位于二维笛卡尔坐标系,其中小H位于原点,苹果们分别在坐标系的整点上。石头飞出的轨迹是一条经过原点的抛物线,确切的说,经过的是 y=ax^2+bx 的抛物线(a<0)。石头砸到一个苹果后,该苹果会落下,且石头不会改变运动轨迹。
现在小H希望求扔一个石头最多砸到的苹果数。
Input
第一行为一个整数T(1 <= T<= 10),表示有T组测试数据;
每组数据第一行一个正整数N(1<=N<=2000),表示苹果数。下面N行每行两个整数给出每个苹果的坐标xi, yi(1<=xi<=1000, 1<=yi<=1000000)。
Output
对于每组数据,输出最多可能砸到的苹果数。
题意分析:由于给出的苹果坐标可能重复,需要先对坐标数组app[i]排序,按先从x坐标升序,x相等按y升序排列,app[i][0],app[i][1]存储x,y坐标,排序后去重,记录每个点上的苹果数目。
最初的思路是枚举前两个点,计算出抛物线系数a,b,再遍历剩余点,计算该条抛物线上的苹果数,最后去最大值,然后时间复杂度为O(n^3),需要做一些剪枝。
剪枝思路:
1、使用pre[i][j](i<j)数组记录第i个点是否是抛物线上第j个点的前驱,如果之前已经有抛物线经过i,j,则防止重复遍历。(注意不能使用一位数组pre[j]=i纪录j点的的前驱为i,因为可能有多条抛物线经过j点,所以造成之前纪录的前驱被覆盖)
2、如果计算出的抛物线参数a>0,直接跳过,因为抛物线只能是开口向下的
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cmath> const int N=2010; int n,app[N][2],appnr[N][2],num[N]; bool pre[N][N]; double a,b; int cmp(const void *a,const void *b) { if(((int*)a)[0] == ((int*)b)[0]) return ((int*)a)[1] - ((int*)b)[1]; return ((int*)a)[0] - ((int*)b)[0]; } void cal(int i,int j) { double x1=appnr[i][0],y1=appnr[i][1]; double x2=appnr[j][0],y2=appnr[j][1]; double tmp = x1/x2; b = (y1-tmp*tmp*y2) / (x1*(1-tmp)); a = (y2-b*x2) / (x2*x2); } int main() { int t; scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%d",&n); int i,j,k; for(i=0;i<n;i++) scanf("%d%d",&app[i][0],&app[i][1]); qsort(app,n,sizeof(int)*2,cmp); memset(num,0,sizeof(num)); int prex=0,prey=0,cnt=-1; for(i=0;i<n;i++) { if(app[i][0]==prex && app[i][1]==prey) num[cnt]++; else { num[++cnt]=1; appnr[cnt][0] = app[i][0]; appnr[cnt][1] = app[i][1]; prex = app[i][0]; prey = app[i][1]; } } cnt++; //for(i=0;i<n;i++) // printf("%d %d\n",app[i][0],app[i][1]); memset(pre,0,sizeof(pre)); int ans=num[0],ret=num[0]; for(i=0;i<cnt-1;i++) for(j=i+1;j<cnt;j++) if(pre[i][j]==0) { cal(i,j); if(a>0) continue; ret = num[i]+num[j]; pre[i][j]=1; //printf("%d %d %lf %lf\n",i,j,a,b); int pret=j; for(k=j+1;k<cnt;k++) { double x = app[k][0],y = appnr[k][1]; if(fabs(y - (a*x+b)*x) < 1e-6) { ret+=num[k]; pre[pret][k]=1; pret = k; } } if(ans<ret) ans = ret; } printf("%d\n",ans); } }