poj3233 - Matrix Power Series

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题目大意：给你A矩阵，A矩阵是n*n的一个矩阵，现在要你求S = A + A^2 + A^3 + … + A^k.
那么s一定也是一个N*N的矩阵，最后要你输出s，并且s的每一个元素对m取余数

 

解题思路：因为S可以看成S=A(I+A(I+A(I+...A(I+A)))) (I是单位矩阵)

拿k=3举例S=A(I+A(I+A))

那么我们想，可不可以构造一个矩阵T使得T*T（因为是k次幂）这样乘下去每次可以得到A*(A+I)

那么肯定T有个两个元素就是A与I

那么假设：T={A  I }
                        I  I
那么T=T*T={A*A+I*I       A*I+I*I}
                      A*I+I*I           I*I+I*I
这样存在一个I*（A+I）的式子 ，当T再乘以T的时候会出现A（A+I）

这个时候我们可以简化将T={A  I}  

                                            0   I

这样可以简化很多计算T*T={A*A   A*I+I*I}
                                           0           I

那么容易得到T^(K+1)={A^(K+1)           I+A+A^2+A^3+...+A^K}
                                         0                                I

这样我们只需要算T的k+1次幂就可以了

 

而k如此庞大所以需要二分来对T求k+1次幂

对T求快速幂：
首先我们知道A^19=A^16*A^2*A^1，因为19=B(10011)

那么就这样，拿A总是去和本身去乘，那么就可以取到 A A^2 A^4 A^8 A^16...

然后问A A^2 A^4 A^8 A^16 ...这么多项取与不取的抉择
其实就是一个求二进制的这样一个过程
19%2=1 那么A取进来
19/2=9
9%2=1 那么A^2取进来
9/2=4
4%2=0 那么A^4不用取进来
4/2=2
2%2=0 那么A^8不用去进来
2/2=1
1%2=1 那么A^16取进来
1/2=0 计算完毕

/*
Memory 312K
Time  313MS
*/
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
#define MAXV 70

typedef struct{
	int r,c;			//c行r列
	int mat[MAXV][MAXV];
}Matrix;

Matrix ans,cnt;
int n,k,m;

void Input(){
	int i,j;
	/*构造B矩阵*/
	memset(cnt.mat,0,sizeof(cnt.mat));
	memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
	for(i=0;i<n;i++){
		for(j=0;j<n;j++)
			scanf("%d",&cnt.mat[i][j]);
	}
	for(i=0;i<n;i++){
		cnt.mat[i+n][i+n]=cnt.mat[i][i+n]=1;
		ans.mat[i][i]=ans.mat[i+n][i+n]=1;
	}

	/*对矩阵B和B^（k+1）初始化*/
	cnt.c=cnt.r=2*n;
	ans.c=ans.r=2*n;
}

Matrix MatrixMul(Matrix x,Matrix y){	//矩阵乘法
	Matrix t;
	int i,j,v;
	memset(t.mat,0,sizeof(t.mat));
	t.c=x.c;
	t.r=y.r;

	for(i=0;i<t.c;i++)
		for(j=0;j<t.r;j++){
			for(v=0;v<x.r;v++)
				t.mat[i][j]+=((x.mat[i][v]*y.mat[v][j])%m);
			t.mat[i][j]=t.mat[i][j]%m;
		}
	return t;
}

void Binary(){
	//二分快速幂
	k++;
	while(k){
		if(k & 1) ans=MatrixMul(ans,cnt);
		cnt=MatrixMul(cnt,cnt);
		k=k>>1;
	}
}

void Output(){
	/*输出的时候要减去一个单位矩阵*/
	int i,j;
	for(i=0;i<n;i++){
		for(j=0;j<n;j++)
			if(i!=j)
				printf("%d ",ans.mat[i][j+n]);
			else
				printf("%d ",ans.mat[i][j+n]-1);
		printf("\n");
	}
}

int main(){
	while(~scanf("%d%d%d",&n,&k,&m)){
		Input();
		Binary();
		Output();
	}
	return 0;
}