位图

位图法就是用一个位来存放某个数据的存在状态。

比如：用一个20位长的内存空间可以表示一个所有元素都小于20的简单的非负整数集合。对于集合{1,2,3,5,8,13}可用如下方式表示

               0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

这样，我们就可以用20位来表示上面集合所有元素的存在状态。

当然利用位图我们可以节省很多空间，比如素数筛选中，有一个bool数组prime，我们知道，在C语言中所有数据类型中的最小的至少也是一个字节，而一般来说，bool在C语言中是占一个字节的，也就是8位，可以看出，如果我们用一个位来表示prime数组中的数字i是否是素数，那么空间只需要原来的八分之一。

当然假设我们定义了一个int数组，而想用这个int数组的每一位来表示一个数的存在状态，那么就有两个重要的操作：设置位置为x的数据的存在状态，读取位置为x的数据存在状态。我分别来讲解这两种操作：

（一）设置位置为x的数据的存在状态

   对于这个操作，我们应该先找到x所在的位置，包括数组下标的位置和下标对应的位的位置。对于int数组来说，因为一个int占4字节，那么有32位，设SHIFT = 5，RADIX = (1 << SHIFT) - 1,用flag[]数组来表示，那么此操作就可以用如下代码来表示：

void SetBit(int x)  
{  
    flag[x>>SHIFT] |= (1<<(x&RADIX));  
}  

（二）读取位置为x的数据存在状态

   对于读操作，跟写操作差不多，也是应该先找到x所在的位，然后&一下就取出对应的位的状态了，如下：

bool GetBit(int x)  
{  
    return flag[x>>SHIFT] & (1<<(x&RADIX));  
}  

这样通过位图这种数据结构，我们可以用较少的空间来实现。

下面是用位图实现的素数筛选：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

using namespace std;
const int N = 100000005;
const int M = 6000005;
const int SHIFT = 5;
const int RADIX = (1 << SHIFT) - 1;

int flag[(N>>SHIFT)+1];
int p[M];
int k;

inline void SetBit(int x)
{
    flag[x>>SHIFT] |= (1<<(x&RADIX));
}

inline bool GetBit(int x)
{
    return flag[x>>SHIFT] & (1<<(x&RADIX));
}

void isprime()
{
    k = 0;
    for(int i=2; i<N; i++)
    {
        if(!GetBit(i))
        {
            p[k++] = i;
            for(int j=i+i; j<N; j+=i)
                SetBit(j);
        }
    }
}

int main()
{
    isprime();
    return 0;
}

  以上是位图的实现原理及操作。实际上在C++的STL中，有一个bitset位图容器，它所定义的数据就是占一个位，这样就方便了许多，所以利用它实现起来比较高效。用法如下：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <bitset>

using namespace std;
const int N = 100000005;
const int M = 6000005;

bitset<N> prime;
int p[M];
int k;

void isprime()
{
    k = 0;
    prime.set();
    for(int i=2; i<N; i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            p[k++] = i;
            for(int j=i+i; j<N; j+=i)
                prime[j] = false;
        }
    }
}

int main()
{
    isprime();
    return 0;
}