学习 严蔚敏讲数据结构笔记22

一、哈希表是什么?

从上面两节讨论的表示查找表的各种结构，有一个共同点：记录在表中的位置和它的关键字之间不存在一个确定的关系，因此，查找的过程为给定值依次和关键字集合中各个关键字进行比较，查找的效率取决于和给定值进行比较的关键字的个数。

用这类方法表示的查找表，其平均查找长度都不为零，不同表示方法的差别仅在于：和给定值进行比较的关键字的顺序不同。

对于频繁使用的查找表，希望ASL=0。只有一个办法：预先知道所查关键字在表中的位置，也就是说，记录在表中位置和其关键字之间存在一种确定的关系。

例如：

为每年招收的1000名新生建立一张查找表，其关键字xx000~xx999(前两位为年份)。则可以下标为000~999的顺序表表示之。由于关键字和记录在表中的序号相同，则不需要经过比较即可确定待查关键字。

但是，对于动态查找表而言，

1）  表长不确定；

2）  在设计查找表时，只知道关键字所属范围，而不知道确切的关键字。

因此，一般情况，需建立一个函数关系，以f(key)作为关键字为key的记录在表中的位置，通常称这个函数f(key)为哈希函数。

简单地说，哈希表是基于哈希函数建立的一种查找表。

例如：对于如下9个关键字

{Zhao,Qian,Sun,Li,Wu,Chen,Han,Ye,Dei}

13   8   9  6 11 1   4   12 2

设f(key)=向下取整[(Ord(第一个字母)-Ord(‘A’)+1)/2]

从这个例子可见，

1）  哈希函数是一个映象，即：将关键字的结婚映射到某个地址结合上，它的设置很灵活，只要这个地址集合的大小不超出允许范围即可。

2）  由于哈希函数是一个压缩映象，因此，在一般情况下，很容易产生“冲突“现象，即：key1<>key2，而f(key1)=f(key2)并且，改进哈希函数只能减少冲突，而不能避免冲突。

因此，在设计哈希函数时，一方面要考虑选择一个“好“的哈希函数；另一方面要选择一种处理冲突的方法。

 

二、哈希函数的构造方法

对数字的关键字可有下列哈希函数的构造方法，若非数字关键字，则需先对其进行数字化处理。

1.      直接定址法

2.      数字分析法

3.      平方取中法

4.      折叠法

5.      除留余数法

6.      随机数法

 

1.      直接定址法

哈希函数为关键字的线性函数H(key)=key 或者H(key)=a*key+b

仅限于：地址集合的大小=关键字集合的大小

2.      数字分析法

假设关键字集合中的每个关键字都是由s位数字组成(k1,k2,…,kn)，分析关键字集中的全体，并从中提取分布均匀的若干位或它们的组合作为地址。

仅限于：能预先估计出全体关键字的每一位上各种数字出现的频度。

3.      平方取中

若关键字的每一位都有某些数字重复出现频度很高的现象，则先求关键字的平方值，以通过“平方“扩大差别，同时平方值的中间几位受到整个关键字中各位的影响。

4.      折叠法

若关键字的位数特别多，则可将其分割成几部分，憨厚取它们的叠加和为哈希地址。

可有：移位叠加和间界叠加两种处理方法。

5.      除留余数法

H(key)=key MOD p （p<=m表长）

关键问题是：如何选取p？

P应为不大于m的质数或是不含20以下的质因子

例如：当key=12，39，18，24，33，21时，若取p=9，则使所有含质因子3的关键字均映射到地址0，3，6上，从而增加了“冲突“的可能性。

6.      随机数法

H(key)=Random(key)

 

实际造表时，采用何种构造哈希数的方法取决于建表的关键字集合的情况（包括关键字的范围和形态），总的原则是使产生冲突的可能性降到尽可能地小。

 

三、处理冲突的方法

处理冲突的实际含义：为产生冲突的地址寻找下一个哈希地址。

1.      开放定址法

2.      链地址法

 

1.开放定址法

为长生冲突的地址H(key)求得一个地址序列：

H0,H1,H2,…,Hs  1<=s<=m-1

其中：H0=H(key) H1=(H(key)+Di) MOD m  i=1,2,…s

增量di有三种取法

1）  线性探测在散列 di=c*I最简单的情况c=1

2）  平方探测散列 d1=1²,-1²,2²,-2²,….,

3）  随机探测在散列di是一组随机数列或者di=i*H(key)

注意：增量di应具有“完备性”

即：产生的Hi均不相同，且所产生的s(m-1)个Hi值能覆盖哈希表中所有的地址。则要求：

平方探测时的表长m必为4j+3的质数；

随机探测时的m和di没有公因子。

 

2.链地址法

将所有哈希地址相同的记录都链接在同一个链表中。

 

四、哈希表的查找

查找过程和造表的过程一致，假设采用开放定址处理冲突，则查找过程为：

对于给定值K，计算哈希地址i=H(K)

若r[i].key = NULLKEY则查找不成功

若r[i].key = KEY 则查找成功

否则求下一个地址Hi，直至

r[Hi].key = NULLKEY(查找不成功) 或r[Hi].key = K(查找成功)为止。

40_001

//开放定址哈希表的存储结构 int hashsize[] = {997,...}; typedef struct {          ElemType  *elem;          int  count; //当前数据元素个数          int  sizeindex; //hashsize[sizeindex]当前容量 }HashTable; #define SUCCESS 1 #define UNSUCCESS 0 #define DUPLICATE -1   Status SearchHash(HashTable H, KeyType K,  int &p, int &c) {          //在开放定址哈希表H中查找关键字码为K的元素          p  = Hash(K); //求得哈希地址          while(H.elem[p].key  != NULLKEY && !EQ(K, elem[p].key))                    collision(p,  ++c); //求得下一个探查地址p          if(EQ(K,  H.elem[p].key))                    return  SUCCESS; //查找成功，p返回待查数据元素位置          else                    return  UNSUCCESS; //查找不成功 }//SearchHash

决定哈希表查找的ASL的因素：

1）  选用的哈希函数

2）  选用处理冲突的方法

3）  选用哈希表饱和程度，装载因子ａ=n/m值的大小

一般情况下，可以认为选用的哈希函数是“均匀”的，在讨论ASL时，可以不考虑它的因素。

哈希表的ASL是处理冲突方法和装载因子的函数。

可以证明：查找成功时有下列结果：