二分图匹配算法总结(phoenixinter)

一、二分图最大匹配
    二分图最大匹配的经典匈牙利算法是由Edmonds在1965
年提出的，算法的核心就是根据一个初始匹配不停的找增广
路，直到没有增广路为止。
    匈牙利算法的本质实际上和基于增广路特性的最大流算
法还是相似的，只需要注意两点：（一）每个X节点都最多
做一次增广路的起点；（二）如果一个Y节点已经匹配了，
那么增广路到这儿的时候唯一的路径是走到Y节点的匹配点
（可以回忆最大流算法中的后向边，这个时候后向边是可以
增流的）。
    找增广路的时候既可以采用dfs也可以采用bfs，两者都
可以保证O(nm)的复杂度，因为每找一条增广路的复杂度是
O(m)，而最多增广n次，dfs在实际实现中更加简短。

二、Hopcroft-Karp算法
    SRbGa很早就介绍过这个算法，它可以做到O(sqrt(n)*e)
的时间复杂度，并且在实际使用中效果不错而且算法本身并
不复杂。
    Hopcroft-Karp算法是Hopcroft和Karp在1972年提出的，
该算法的主要思想是在每次增广的时候不是找一条增广路而
是同时找几条点不相交的最短增广路，形成极大增广路集，
随后可以沿着这几条增广路同时进行增广。
    可以证明在寻找增广路集的每一个阶段所寻找到的最短
增广路都具有相等的长度，并且随着算法的进行最短增广路
的长度是越来越长的，更进一步的分析可以证明最多只需要
增广ceil(sqrt(n))次就可以得到最大匹配（证明在这里略
去）。
    因此现在的主要难度就是在O(e)的时间复杂度内找到极
大最短增广路集，思路并不复杂，首先从所有X的未盖点进行
BFS，BFS之后对每个X节点和Y节点维护距离标号，如果Y节点
是未盖点那么就找到了一条最短增广路，BFS完之后就找到了
最短增广路集，随后可以直接用DFS对所有允许弧(dist[y]=
dist[x]+1，可以参见高流推进HLPP的实现)进行类似于匈牙
利中寻找增广路的操作，这样就可以做到O(m)的复杂度。
    实现起来也并不复杂，对于两边各50000个点，200000
条边的二分图最大匹配可以在1s内出解，效果很好：）

三、二分图最优匹配
    二分图最优匹配的经典算法是由Kuhn和Munkres独立提出
的KM算法，值得一提的是最初的KM算法是在1955年和1957年
提出的，因此当时的KM算法是以矩阵为基础的，随着匈牙利
算法被Edmonds提出之后，现有的KM算法利用匈牙利树可以得
到更漂亮的实现。
    KM算法中的基本概念是可行顶标(feasible vertex
labeling)，它是节点的实函数并且对于任意弧(x,y)满足
l(x)+l(y)>=w(x,y)，此外一个概念是相等子图，它是G的一个
生成子图，但是只包含满足l(xi)+l(yj)=w(xi,yj)的所有弧
(xi,yj)。
    有定理：如果相等子图有完美匹配，那么该匹配是最大权
匹配，证明非常直观也非常简单，反设其他匹配是最优匹配，
它的权必然比相等子图的完美匹配的权要小。
    KM算法主要就是控制了怎样修改可行顶标的策略使得最终
可以达到一个完美匹配，首先任意设置可行顶标（如每个X节点
的可行顶标设为它出发的所有弧的最大权，Y节点的可行顶标设
为0），然后在相等子图中寻找增广路，找到增广路就沿着增广
路增广。
    而如果没有找到增广路呢，那么就考虑所有现在在匈牙利
树中的X节点（记为S集合），所有现在在匈牙利树中的Y节点
（记为T集合），考察所有一段在S集合，一段在not T集合中的
弧，取
    delta =
    mio {l(xi)+l(yj)-w(xi,yj),xi /in S, yj /in not T}
    明显的，当我们把所有S集合中的l(xi)减少delta之后，
一定会有至少一条属于(S,not T)的边进入相等子图，进而可以
继续扩展匈牙利树，为了保证原来属于(S,T)的边不退出相等子
图，把所有在T集合中的点的可行顶标增加delta。
    随后匈牙利树继续扩展，如果新加入匈牙利树的Y节点是未
盖点，那么找到增广路，否则把该节点的对应的X匹配点加入匈
牙利树继续尝试增广。
    复杂度分析：由于在不扩大匹配的情况下每次匈牙利树做
如上调整之后至少增加一个元素，因此最多执行n次就可以找到
一条增广路，最多需要找n条增广路，故最多执行n^2次修改顶
标的操作，而每次修改顶标需要扫描所有弧，这样修改顶标的
复杂度就是O(n^2)的，总的复杂度是O(n^4)的。
    事实上我现在看到的几个版本的实现都是这样实现的，但
是实际效果还不错，因为这个界通常很难达到。
    对于not T的每个元素yj，定义松弛变量slack(yj) =
min{l(xi)+l(yj)-w(xi,yj),xi /in S}，很明显的每次的delta
=min{slack(yj),yj/in not T}，每次增广之后用O(n^2)的时间
计算所有点的初始slack，由于生长匈牙利树的时候每条弧的顶
标增量相同，因此修改每个slack需要常数时间（注意在修改顶
标后和把已盖Y节点对应的X节点加入匈牙利树的时候是需要修
改slack的）。这样修改所有slack值时间是O(n)的，每次增广后
最多修改n次顶标，那么修改顶标的总时间降为O(n^2)，n次增广
的总时间复杂度降为O(n^3)。事实上我这样实现之后对于大部分
的数据可以比O(n^4)的算法快一倍左右。

四、二分图的相关性质
    本部分内容主要来自于SRbGa的黑书，因为比较简单，仅作
提示性叙述。
    (1) 二分图的最大匹配数等于最小覆盖数，即求最少的点
使得每条边都至少和其中的一个点相关联，很显然直接取最大
匹配的一段节点即可。
    (2) 二分图的独立数等于顶点数减去最大匹配数，很显然
的把最大匹配两端的点都从顶点集中去掉这个时候剩余的点是
独立集，这是|V|-2*|M|，同时必然可以从每条匹配边的两端取
一个点加入独立集并且保持其独立集性质。
    (3) DAG的最小路径覆盖，将每个点拆点后作最大匹配，结
果为n-m，求具体路径的时候顺着匹配边走就可以，匹配边
i->j',j->k',k->l'....构成一条有向路径。

五、稳定婚姻问题
    稳定婚姻问题是一个很有意思的匹配问题，有n位男士和n位
女士，每一个人都对每个异性有一个喜好度的排序，代表对他的
喜爱程度，现在希望给每个男士找一个女士作配偶，使得每人恰
好有一个异性配偶。如果男士u和女士v不是配偶但喜欢对方的程
度都大于喜欢各自当前配偶的程度，则称他们为一个不稳定对。
稳定婚姻问题就是希望找出一个不包含不稳定对的方案。
    算法非常简单，称为求婚－拒绝算法，每位男士按照自己喜
欢程度从高到低依次给每位女士主动求婚直到有一个女士接受他
，对于每个女士，如果当前向她求婚的配偶比她现有的配偶好则
抛弃当前配偶，否则不予理睬，循环往复直到所有人都有配偶。
有趣的是，看起来是女士更有选择权，但是实际上最后的结果是
男士最优的(man-optimal)。
    首先说明最后匹配的稳定性，随着算法的执行，每位女士的
配偶越来越好，而每位男士的配偶越来越差。因此假设男士u和女
士v形成不稳定对，u一定曾经向v求过婚，但被拒绝。这说明v当
时的配偶比u更好，因此算法结束后的配偶一定仍比u好，和不稳
定对的定义矛盾，类似的，方式我们考虑最后一个被抛弃的男士
和抛弃这位男士的女士，不难得出这个算法一定终止的结论。
    如果存在一个稳定匹配使得男士i和女士j配对，则称(i,j)是
稳定对。对于每个男士i，设所有稳定对(i,j)中i 最喜欢的女士
为best(i)，则可以证明这里给出的算法对让每位男士i与best(i)
配对。对于所有男士来说，不会有比这更好的结果了，而对于女
士则恰恰相反，对于她们来说不会有比这更糟的结果了，因此这
个算法是男士最优的。
    算法一定得到稳定匹配，并且复杂度显然是O(n^2)，因为每
个男士最多考虑每个女士一次，考虑的时间复杂度是O(1)，当然
了，需要作一定的预处理得到这个复杂度。