[ACM算法]图的基本知识

 

图的基本知识 ( 本文有我转载高人，红色为我个人理解或个人感觉需注意的地方)
 
顶点:图中的数据元素称为顶点.
有向图:有方向的图叫有向图.
无向图:没有方向的图叫无线图.
完全图:有n(n-1)/2条边的无向图称为完全图.
有向完全图:具有n(n-1)条弧的有向图称为有向完全图.
稀疏图:有很少条边或弧的图称为稀疏图,反之称为稠密图.
权:与图的边或弧相关的数叫做权(weight).

1. Relaxation( 松弛操作)：
procedure relax(u,v,w:integer);//多数情况下不需要单独写成procedure。
begin
  if dis[u]+w<dis[v] then
    begin
      dis[v]:=dis[u]+w;
      pre[v]:=u;
    end
end;



2. Dijkstra
1) 适用条件&范围：
a) 单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
b) 有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图)
c) 所有边权非负(任取(i,j)∈E都有Wij≥0);
2) 算法描述：
a) 初始化：dis[v]=maxint(v∈V,v≠s); dis[s]=0; pre[s]=s; S={s};
b) For i:=1 to n
1.取V-S中的一顶点u使得dis[u]=min{dis[v]|v∈V-S}
2.S=S+{u}
3.For V-S中每个顶点v do Relax(u,v,Wu,v)
c) 算法结束：dis[i]为s到i的最短距离；pre[i]为i的前驱节点
3) 算法优化 ：
使用二叉堆(Binary Heap)来实现每步的DeleteMin(ExtractMin，即算法步骤b中第1步)操作，算法复杂度从O(V^2)降到O((V+E)㏒V)。推荐对稀疏图使用。
使用Fibonacci Heap(或其他Decrease操作O(1),DeleteMin操作O(logn)的数据结构)可以将复杂度降到O(E+V㏒V)；如果边权值均为不大于C的正整数，则使用Radix Heap可以达到O(E+V㏒C)。但因为它们编程复杂度太高，不推荐在信息学竞赛中使用。


3. Bellman-Ford
1) 适用条件&范围：
a) 单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
b) 有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
c) 边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
d) 差分约束系统;
2) 算法描述：
对每条边进行|V|次Relax操作;
完成后，如果存在(u,v)∈E使得dis[u]+w<dis[v],则存在负权回路;否则dis[v]即为s到v的最短距离,pre[v]为前驱。
3) 算法实现：
For i:=1 to |V| do
For 每条边(u,v)∈E do
       Relax(u,v,w);
For每条边(u,v)∈E do
If dis[u]+w<dis[v] Then Exit(False)

算法时间复杂度O(VE)。因为算法简单，适用范围又广，虽然复杂度稍高，但因为它实践中的效果不错，仍不失为一个很实用的算法。

 

4. Topological Sort(拓扑排序)
1) 适用条件&范围：
a) AOV网(Activity On Vertex Network);
b) 有向图;
c) 作为某些算法的预处理过程(如DP)
2) 算法描述：
很简单的算法：每次挑选入度为0的顶点输出(不计次序)。
如果最后发现输出的顶点数小于|V|，则表明有回路存在
3) 算法实现：
a) 数据结构： adj:邻接表;有4个域{u,v,w,next}
indgr[i]:顶点i的入度;
stack[]:栈
b) 初始化:top=0 (栈顶指针)
c) 将初始状态所有入度为0的顶点压栈
d) I=0 (计数器)
e) While 栈非空(top>0) do
i. 顶点v出栈；输出v；计数器增1；
ii. For 与v邻接的顶点u do
1. dec(indgr[u]);
2. If indgr[u]=0 then 顶点u入栈
f) EXIT(I=|V|)

简单&高效&实用的算法。上述实现方法复杂度O(V+E)


5. SSSP On DAG
1) 适用条件&范围：
a) DAG(Directed Acyclic Graph,有向无环图);
b) 边权可正可负
2) 算法描述：
a) Toposort;
b) If Toposort=False Then HALT(Not a DAG)
c) For 拓扑序的每个顶点u do
For u的每个邻接点v do
  Relax(u,v,w);

算法结束后：如有环则输出错误信息；否则dis[i]为s到i的最短距离，pre[i]为前驱顶点。
3) 算法实现：
基本从略。此算法时间复杂度O(V+E)，时间&编程 复杂度低，如遇到符合条件的题目(DAG)，推荐使用。
还有，此算法的步骤c可以在toposort中实现，这样即减小了此算法复杂度的一个系数。

6. Floyd-Warshall
1) 适用范围：
a) APSP(All Pairs Shortest Paths)
b) 稠密图效果最佳
c) 边权可正可负
2) 算法描述：
a) 初始化：dis[u,v]=w[u,v]
b) For k:=1 to n
For i:=1 to n
For j:=1 to n
If dis[i,j]>dis[i,k]+dis[k,j] Then

Dis[I,j]:=dis[I,k]+dis[k,j];
c) 算法结束：dis即为所有点对的最短路径矩阵
3) 算法小结：
此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。时间复杂度O(n^3)。
考虑下列变形：如(I,j)∈E则dis[I,j]初始为1,else初始为0，这样的Floyd算法最后的最短路径矩阵即成为一个判断I,j是否有通路的矩阵。更简单的，我们可以把dis设成boolean类型，则每次可以用“dis[I,j]:=dis[I,j]or(dis[I,k]and dis[k,j])”来代替算法描述中的蓝色部分，可以更直观地得到I,j的连通情况。
与Dijkstra算法类似地，算法中蓝色的部分可以加上对Pre数组的更新，不再赘述。

7. Prim （Dijksta的推广）
1) 适用范围：
a) MST(Minimum Spanning Tree,最小生成树)
b) 无向图(有向图的是最小树形图)
c) 多用于稠密图
2) 算法描述：
a) 初始化：dis[v]=maxint(v∈V,v≠s); dis[s]=0; pre[s]=s; S={s};tot=0
b) For i:=1 to n
1.取顶点v∈V-S使得W(u,v)=min{W(u,v)|u∈S,v∈V-S,(u,v)∈E}
2.S=S+{v};tot=tot+W(u,v);输出边(u,v)
3.For V-S中每个顶点v do Relax(u,v,Wu,v)
c) 算法结束：tot为MST的总权值

注意：这里的Relax不同于求最短路径时的松弛操作。它的代码如下：
procedure relax(u,v,w:integer);        //松弛操作
begin
  if w<dis[v] then
    begin
      pre[v]:=u;
      dis[v]:=w;
    end;
end;
可以看到，虽然不同，却也十分相似。
3) 算法优化：
使用二叉堆(Binary Heap)来实现每步的DeleteMin(ExtractMin)操作
算法复杂度从O(V^2)降到O((V+E)㏒V)。推荐对稀疏图使用。
使用Fibonacci Heap可以将复杂度降到O(E+V㏒V)，但因为编程复杂度太高，不推荐在信息学竞赛中使用。
（不要问我为什么和Dijkstra一样……观察我的prim和dijkstra程序，会发现基本上只有relax和输出不一样……）

8 Kruskal
1) 适用范围：
a) MST(Minimum Spanning Tree,最小生成树)
b) 无向图(有向图的是最小树形图)
c) 多用于稀疏图
d) 边已经按权值排好序给出
2) 算法描述：
基本思想：每次选不属于同一连通分量(保证无圈)且边权值最小的2个顶点，将边加入MST，并将所在的2个连通分量合并，直到只剩一个连通分量
3) 算法实现：
a) 将边按非降序排列(Quicksort,O(E㏒E))
b) While 合并次数少于|V|-1
i. 取一条边(u,v)(因为已经排序，所以必为最小)
ii. If u,v不属于同一连通分量 then
1) 合并u,v所在的连通分量
2) 输出边(u,v)
3) 合并次数增1；tot=tot+W(u,v)
c) 算法结束：tot为MST的总权值
4) 分析总结：
检查2个顶点是否在同一连通分量可以使用并查集实现(连通分量看作等价类)。
我们可以看到，算法主要耗时在将边排序上。如果边已经按照权值顺序给出，那太棒了……
另外一种可以想到的实现方法为：O(n)时间关于边权建二叉小根堆；每次挑选符合条件的边时使用堆的DelMin操作。这种方法比用Qsort预排序的方法稍微快一些，编程复杂度基本一样。附程序。
另外，如果边权有一定限制，即<=某常数c，则可以使用线性时间排序以获得更好的时间效率。

SPFA 算法
求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。
从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。
很多时候， 给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。
简洁起见，我们 约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在 。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。
我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，而且用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存 待优化的结点 ，优化时每次取出队首结点u，并且 用u点当前的最短路径估计值对 离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。

定理: 只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。
证明：每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。（证毕）

SPFA(G,w,s)
1. INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)
2. INITIALIZE-QUEUE(Q)
3. ENQUEUE(Q,s)
4. While Not EMPTY(Q) 
5.  Do u<-DLQUEUE(Q)
6.  For 每条边(u,v) in E[G]
7.  Do tmp<-d[v]
8.  Relax(u,v,w)
9.  If (d[v] < tmp) and (v不在Q中)
10.  ENQUEUE(Q,v)