重心坐标
数学中，重心坐标是由单形（如三角形或四面体等）顶点定义的坐标。重心坐标是齐次坐标的一种。
设 v1, ..., vn 是向量空间 V 中一个单形的顶点，如果 V 中某点 p 满足，
那么我们称系数 (λ1, ..., λn) 是 p 关于 v1, ..., vn 的重心坐标。这些顶点自己的坐标分别是 (1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)。重心坐标不是惟一的：对任何不等于零的 k，(k λ1, ..., k λn) 也是 p 的重心坐标。但总可以取坐标满足 λ1 + ...+ λn = 1，称为正规化坐标。注意到定义式在仿射变换下不变，故重心坐标具有仿射不变性。
如果坐标分量都非负，则 p 在 v1, ..., vn 的凸包内部，即由这些顶点组成的单形包含 p。我们设想如果有质量 λ1, ..., λn 分别位于单形的顶点，那么质量中心就是 p。这是术语“重心”的起源，1827年由奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯最初引入。
三角形的重心坐标
在三角形情形，重心坐标也叫面积坐AP:PC 标，因为 P 点关于三角形 ABC 的重心坐标和三角形 PBC, PCA 及 PAB 的（有向）面积成比例，证明如下（图如右）。
我们用黑体小写字母表示对应点的向量，比如三角形 ABC 顶点为 和 ，P 点为 等。设 PBC, PCA 及 PAB 面积之比为 且 λ1 + λ2 + λ3 = 1，设射线 AP 与 BC 交于 D，则
- BD:DC = λ2:λ3, 从而
- AP:PD = (λ2 + λ3):λ1，故
所以，(λ1,λ2,λ3) 就是 P 的重心坐标。
坐标变换
给定三角形平面一点 P，我们将这一点的面积坐标 ， 和 用笛卡尔坐标表示出来。
利用笛卡尔坐标中的三角形面积公式：
我们可得：
类似地有 λ2,λ3，注意 ABC 构成一个三角形，上式的分母不可能为 0。
反过来则简单得多：
- 故
- xp = λ1xa + λ2xb + λ3xc, 和
- yp = λ1ya + λ2yb + λ3yc.
判断一点的位置
因重心坐标是笛卡尔坐标的一个线性变换，从而它们在边和三角形区域之间的变化是线性的。如果点在三角形内部，那么所有重心坐标属于开区间 (0,1)；如果一点在三角形的边上，至少有一个面积坐标 λ1...3 为 0，其余分量位于闭区间 [0,1]。如果有某个坐标小于 0，则位于三角形外部，具体分布可参考上图。
应用
面积坐标在涉及到三角形子区域的工程学问题时特别有用，经常可以化简解析积分求值，高斯积分法表也常以面积坐标的形式给出。
考虑由顶点 , 和 定义的三角形 T，任何在三角形内部的点 都能写成顶点的加权和：
这里 、 和 是面积坐标。注意到 。 从而，函数 f 在 T 上的积分为：
这里 S 是三角形 T 的面积。注意上式具有线性插值的形式。
重心坐标提供了一种非结构网格上函数插值的方法，假设函数值在所有网格的顶点上已知。如果 ，则点 位于三角形内部或边界上。我们取 f 的插值为
这个线性插值是自动正规的因为 λ1 + λ2 + λ3 = 1。
四面体的重心坐标
重心坐标容易推广到三维空间。3 维单形即四面体，具有四个三角形面和四个顶点。
完全类似于三角形，四面体 的顶点 的重心坐标为 (1,0,0,0)， 为 (0,1,0,0)，如是等等。
点 的笛卡尔坐标和为关于四面体 的重心坐标的关系：
这里 Vol(V1V2V3V4) 为 组成的四面体的体积，类似于三角形也可以用笛卡尔坐标的一个行列式表示出来。
3 维重心坐标和 2 维一样，可以确定一点是否位于四面体内部，也能对四面体网格上函数插值。因为利用重心坐标可以极大地简化 3 维插值，四面体网格经常用于有限元分析。
参考文献
- Bradley, Christopher J.（2007年）．The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-ordinates．Bath：Highperception．ISBN 978-1-906338-00-8．
- Eric W. Weisstein, Areal Coordinates, MathWorld.
- Eric W. Weisstein, Barycentric Coordinates, MathWorld.
外部链接
- 重心坐标：一个奇怪的运用（解“三杯子问题”）位于 cut-the-knot
- 齐次重心坐标在平面欧几里得几何中的运用