B-Spline Global Interpolation

B-Spline Global Interpolation

 

 

 

 

 

现在来考虑一个问题。在空间中有n个点，如何求过这n个点的曲线呢？比如，我们要求过已知点的三次B-Spline曲线，并且分别作为曲线的起点和终点。这样的问题我们称为B-Spline Global Interpolation。先来分析一下，我们已经知道，根据B-Spline曲线的定义，一个参数u就对应一个曲线上的点。或者说，一个时刻t就对应一个曲线上的点。这些点，在这里就是我们已知的这几个点。

 

 

于是，上面公式中,是我们已知的空间上的点，是该曲线的控制点，是未知的。 是曲线经过时的参数，也是未知的。我们知道，要得到一条B-Spline曲线，控制点和knot是不可少的。如果我们能计算出曲线经过时的，并且给出曲线的knots，那么我们根据上面的公式就可以得到一个线性方程组，解这个线性方程组就可以得到曲线的控制点。然后再根据这些控制点和我们给的knots，就可以得到我们要的曲线了。

 

先来看看曲线过点时参数的求法， 一般来说有三种方法。

 

平均法(equally spaced)

 

 

 

 

这种求knot的方法简单，但是不推荐。

 

弦长法(chord length)

令d为总的弦长

 

那么

 

 

这里推荐这种方法，弦长法也是最广泛使用的方法之一。使用这种方法求出的曲线是最理想的。

 

向心法

 

那么

 

 

 

求出了参数，现在来看看knots的求法，这里有两种方法。第一种方法，让每个knot的间隔都相等。那么有

 

 

 

 

这种方法仍然是不推荐的，这里推荐下面的方法，求出平均的knot。

 

 

 

上式中，p为曲线的次数，n为最后一个控制点的索引，m=n+p+1。

 

到这里，需要我们计算的东西都解决了，下面就是建立线性方程组并且求解的问题了。下面举个例子来说明。

 

例：

已知空间中的点 ，求：过这些点的三次B-Spline曲线。

 

根据前面内容讲的，先使用弦长法求曲线过这些点的参数u，然后使用平均法求出曲线的knots，再建立线性方程组求解即可。

 

那么根据题设，有

 

 

所以总弦长d=17，根据前面介绍的公式有

 

 

 

也就是说，曲线在过空间上的点的时候，参数u分别为0，5/17，9/17，14/17和1。

 

现在来求knots，同样根据公式有

 

 

 

 

那么该曲线的knots为

 

 

下面就是建立方程组了，由于曲线的起点和终点对应第一个通过的点和最后一通过的点，所以第一个通过的点和最后一个通过点也就是曲线的控制点。所以有

 

 

写成矩阵形式有

 

 

 

这里未知数就是P，解这个线性方程组求出控制点P后，再根据B-Spline曲线公式，带入控制点P和刚才求得的knots，就可以得到通过Q点的曲线了。

 

 

 

 

从上面图中是三次B-Spline曲线，可以看到是按照我们设定好的点来生成的。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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