时间转换和星期推算（MATLAB版）

1 概述

最近在学习GPS解算算法时需要在GPS时（GPS周和周内秒）和公历日期之间进行转换，于是就整理了一些时间转换的小程序。本文介绍了GPS时、公历、儒略日（JD）、简化儒略日（MJD）之间的转换函数。

gps2cal	将GPS周和周内秒转换到公历时间
gps2cal1	由公历日期和GPS周内秒计算公历时间
cal2gps	将公历GPS时间转换到GPS周和周内秒
mjd2cal	将简化儒略日转换到公历时间
cal2mjd	将公历时间转换到简化儒略日
jd2cal	从儒略日计算公历时间
cal2jd	将公历时间转换到儒略日
cal2wd	借助MJD，由公历年月日推算星期几，按照格里高利十三世的历法改革去掉1582年10月5日至14日
cal2wd1	由公历年月日推算星期几，按照英国人的做法去掉1752年9月3日至13日
cal2wd2	不借助MJD，由公历年月日推算星期几，去掉1582年10月5日至14日

在MJD基础上推算星期是很简单的，我顺带写出了从公历推算星期的函数cal2wd。不借助MJD也可以推算星期，例如安竹林同学在《再谈星期的计算》（《程序员》2001年第4期）介绍的方法。本文给出了这个方法的matlab版本cal2wd1。 cal2wd1按照英国人的历法去掉了公历中的公元1752年9月3日至13日。我又写了cal2wd2函数，这个函数按照格里高利十三世的做法去掉1582年10月5日至14日。

我在2005年写过一篇《时标与历法》，介绍过一些历法的基础知识。本文假设读者了解该文介绍的一些概念，例如原子时标、UTC、闰秒、儒略历、儒略日、简化儒略日等。

2 GPS周和周内秒

GPS时从1980年1月6日0时开始计时。GPS时的秒长度与UTC一样，采用原子时标。但GPS时是连续的，不调整闰秒。在GPS数据中，GPS时通常被表示为GPS周和周内秒。例如：

>> gpst=cal2gps([2009 3 13 22 38 10])
gpst =
        1522      513490
>> cal=gps2cal(gpst)
cal =
        2009           3          13          22          38          10

即2009年3月13日22:38:10对应gps周1522，周内秒513490。 GPS数据为什么要采用周和周内秒的表示方式呢？

因为这样便于存储和处理。GPS系统内部每隔1.5s会产生一个叫作X1历元的定时事件。系统通过对X1历元计数的方式计时，这种计时方式被称作Z计数。 Z计数有29bit，高10bit是周数，低19bit是周内秒。一个星期有604800秒，19bit所能表示的最长时间是(2^19-1)*1.5=786430.5秒，够用啦。 GPS卫星和接收机之间通过Z计数传递时间，所以GPS数据文件中会用到GPS周和周内秒。

我在做数据解算时，有时知道观测日期和周内秒，所以写了一个由公历日期和GPS周内秒计算公历时间的函数gps2cal1：

>> cal=gps2cal1([2009 3 13],513490)
cal =
        2009           3          13          22          38          10

请注意这3个函数里的公历时间没有调整闰秒。在GPS数据（例如RINEX格式）中，公历时间也不调整闰秒。

3 儒略日和简化儒略日

我在《时标与历法》中介绍过儒略历、儒略日（JD）和简化儒略日（MJD），这里就不再重复。只是简单说明一下公历的不连续性。公元1582年3月1日，罗马教皇格里高利十三世在颁布格里高利历（即我们现在使用的公历）时，为了消除已经存在的误差，宣布去掉1582年10月5日至14日。即1582年10月4日的23:59的下一秒是1582年10月15日的00:00。

我们通常对1582年10月15日0时之后的时间使用格里高利历，对1582年10月4日的23:59之前的时间使用儒略历。这里的儒略历是指屋大维改革过的儒略历，即奥古斯都历。它和格里高利历除了置闰方式不同，其它是完全一样的。儒略历是4年一闰，400年100闰。公历是400年97闰，扣掉了3个不能被400整除的世纪年。

例如：香港天文台说儒略日“以倒推到公元前4713年1月1日格林尼治平时正午为起算日期”。这里的公元前4713年1月1日就是按照儒略历倒推的日期。但没有必要特殊说明儒略历。本文提供的mjd2cal、cal2mjd、jd2cal、cal2jd函数都使用了规则：公元1582年10月4日24:00点之前使用儒略历，公元1582年10月15日00:00点之后使用格里高利历。下面是一些使用示例：

>> jd2cal(0)
ans =
       -4713           1           1          12           0           0
>> mjd2cal(0)
ans =
        1858          11          17           0           0           0
>> cal2jd([1582 10 4 12 0 0])
ans =
     2299160
>> cal2jd([1582 10 15 12 0 0])
ans =
     2299161
>> cal2mjd([1582 10 4 0 0 0])
ans =
     -100841
>> cal2mjd([1582 10 15 0 0 0])
ans =
     -100840

网上有很多介绍闰年的文章会以公元1000年为例，说它不是闰年。事实上，按照1582年10月4日24:00点之前使用儒略历的规则，公元1000年是闰年。也就是说公元1000年2月29日在历史上是存在的。例如：

>> cal2jd([1000 2 28 12 0 0])
ans =
     2086366
>> cal2jd([1000 2 29 12 0 0])
ans =
     2086367
>> cal2jd([1000 3 1 12 0 0])
ans =
     2086368

3 星期推算

在MJD的基础上，我们可以很方便地推算星期。函数cal2wd只需要两行代码：

mjd=floor(cal2mjd(cal));
% 2009年3月9日（MJD 54899）是星期一
wd=mod(mjd-54899,7)+1;

因为在JD或MJD中，1582年10月5日至14日是不存在的。所以1582年10月15日是星期五，1582年10月4日是星期四：

>> cal2wd([1582 10 15])
ans =
     5
>> cal2wd([1582 10 4])
ans =
     4

不借助MJD，也可以直接推算星期。安竹林同学在《再谈星期的计算》一文中介绍了一个简单易行的方法。我将其写成matlab函数cal2wd1。不过在安同学的代码中，1582年10月5日至14日是存在的，1752年9月3日至13日是不存在的，这是怎么回事呢？

事情是这样的。1582年3月1日格里高利十三世颁布格里高利历后，英国人认为从历史上去掉10天是很荒唐的事情，没有接受。其实更合理的解释是：格里高利历是罗马教皇颁布的，信奉天主教的意大利、波兰、西班牙、葡萄牙都国家都很痛快地接受了。但英国是新教国家，所以不愿意接受。直到1752年，英国人才决定采用格里高利历，因为这时儒略历又多算了一天，所以英国人从历史上去掉了11天。在英国人看来，1752年9月2日的次日是1752年9月14日。

在我看来，还是去掉1582年10月5日至14日更常用一些。所以又在cal2wd1基础上写了cal2wd2。 cal2wd2和cal2wd功能相同，区别仅是前者不依赖cal2mjd函数。cal2wd和cal2wd1也就是对1582年10月5日至1752年9月13日的推算结果不同。它们对其它日期的推算结果都是相同的，例如它们推算的公元1年1月1日都是星期六：

>> cal2wd([1752 9 14])
ans =
     4
>> cal2wd1([1752 9 14])
ans =
     4
>> cal2wd([1 1 1])
ans =
     6
>> cal2wd1([1 1 1])
ans =
     6

4 结束语

本文提到的源代码可以从这里下载。其中最复杂的cal2jd和jd2cal是根据www.moshier.net上的代码修改得到。其实我起初只是想写两个转换gps时间的函数。好奇心让我在半夜查阅相关资料，并用本文记录了这些函数的一些背景。