KMP算法详解

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KMP算法即Knuth-Morris-Pratt算法，是模式匹配的一种改进算法，因为是名字中三人同时发现的，所以称为KMP算法。因为偶然接触到有关KMP的问题，所以上网查了一下next数组和 nextval数组的求法，却没有找到，只有在CSDN的资料文件里找到了next数组的简单求法（根据书上提供的程序也可以求到，但一般在课堂讲解的时候，学生难以理解，所以希望以更容易理解的形式来讲解），那位高人说时间关系，先讲到这里，于是讲完了next数组就功成身退了。BS的同时，自己研究了下nextwal数组，发现了其中的简易规律，并写了出来，希望能对需要快速理解KMP中nextval的求法的朋友有所帮助。
    int get_nextval(SString T,int &nextval[ ]){
        //求模式串T的next函数修正值并存入数组nextval。
        i=1; nextval[1]=0; j=0;
        while(i<T[0]){
            if(j==0||T[i]==T[j]){
                ++i;++j;
                if (T[i]!=T[j]) nextval[i]=j;
                else nextval[i]=nextval[j];
            }
            else j=nextval[j];
        }
    }//get_nextval
    根据这段程序来求nextval的值是可以方便计算出来，但如果是应付考研试题或者期末考试就有点麻烦了。而如果记住我推荐的方法，那么任何时候都可以很方便地求解nextval了。
    首先看看next数组值的求解方法。
    例如：

模式串	a	b	a	a	b	c	a	c
next值	0	1	1	2	2	3	1	2
nextval值

    next数组的求解方法是：第一位的next值为0，第二位的next值为1，后面求解每一位的next值时，根据前一位进行比较。首先将前一位与其 next值对应的内容进行比较，如果相等，则该位的next值就是前一位的next值加上1；如果不等，向前继续寻找next值对应的内容来与前一位进行比较，直到找到某个位上内容的next值对应的内容与前一位相等为止，则这个位对应的值加上1即为需求的next值；如果找到第一位都没有找到与前一位相等的内容，那么需求的位上的next值即为1。
    看起来很令人费解，利用上面的例子具体运算一遍。
    1.前两位必定为0和1。
    2.计算第三位的时候，看第二位b的next值，为1，则把b和1对应的a进行比较，不同，则第三位a的next的值为1，因为一直比到最前一位，都没有发生比较相同的现象。
    3.计算第四位的时候，看第三位a的next值，为1，则把a和1对应的a进行比较，相同，则第四位a的next的值为第三位a的next值加上1。为2。因为是在第三位实现了其next值对应的值与第三位的值相同。
    4.计算第五位的时候，看第四位a的next值，为2，则把a和2对应的b进行比较，不同，则再将b对应的next值1对应的a与第四位的a进行比较，相同，则第五位的next值为第二位b的next值加上1，为2。因为是在第二位实现了其next值对应的值与第四位的值相同。
    5.计算第六位的时候，看第五位b的next值，为2，则把b和2对应的b进行比较，相同，则第六位c的next值为第五位b的next值加上1，为3，因为是在第五位实现了其next值对应的值与第五位相同。
    6.计算第七位的时候，看第六位c的next值，为3，则把c和3对应的a进行比较，不同，则再把第3位a的next值1对应的a与第六位c比较，仍然不同，则第七位的next值为1。
    7.计算第八位的时候，看第七位a的next值，为1，则把a和1对应的a进行比较，相同，则第八位c的next值为第七位a的next值加上1，为2，因为是在第七位和实现了其next值对应的值与第七位相同。
    在计算nextval之前要先弄明白，nextval是为了弥补next函数在某些情况下的缺陷而产生的，例如主串为“aaabaaaab”、模式串为 “aaaab”那么，比较的时候就会发生一些浪费的情况：比较到主串以及模式串的第四位时，发现其值并不相等，据我们观察，我们可以直接从主串的第五位开始与模式串进行比较，而事实上，却进行了几次多余的比较。使用nextval可以去除那些不必要的比较次数。
    求nextval数组值有两种方法，一种是不依赖next数组值直接用观察法求得，一种方法是根据next数组值进行推理，两种方法均可使用，视更喜欢哪种方法而定。
    我们使用例子“aaaab”来考查第一种方法。
    1.试想，在进行模式匹配的过程中，将模式串“aaaab”与主串进行匹配的时候，如果第一位就没有吻合，即第一位就不是a，那么不用比较了，赶快挪到主串的下一位继续与模式串的第一位进行比较吧，这时，模式串并没有发生偏移，那么，模式串第一位a的nextval值为0。
    2.如果在匹配过程中，到第二位才发生不匹配现象，那么主串的第一位必定是a，而第二位必定不为a，既然知道第二位一定不为a，那么主串的第一、二两位就没有再进行比较的必要，直接跳到第三位来与模式串的第一位进行比较吧，同样，模式串也没有发生偏移，第二位的nextval值仍然为0。
    3.第三位、第四位类似2的过程，均为0。
    4.如果在匹配过程中，直到第五位才发生不匹配现象，那么主串的第一位到第四位必定为a，并且第五位必定不为b，可是第五位仍然有可能等于a。如果万一第五位为a，那么既然前面四位均为a，所以，只要第六位为b，第一个字符串就匹配成功了。所以，现在的情况下，就是看第五位究竟是不是a了。所以发生了下面的比较：

 

 

1	2	3	4	5	6
a	a	a	a	*	*
a	a	a	a	b
	a	a	a	a	b

 

    前面的三个a都不需要进行比较，只要确定主串中不等于b的那个位是否为a，即可以进行如下的比较：如果为a，则继续比较主串后面一位是否为b；如果不为 a，则此次比较结束，继续将模式串的第一位去与主串的下一位进行比较。由此看来，在模式串的第五位上，进行的比较偏移了4位（不进行偏移，直接比较下一位为0），故第五位b的nextval值为4。
    我们可以利用第一个例子“abaabcac”对这种方法进行验证。
    a的nextval值为0，因为如果主串的第一位不是a，那么没有再比较下去的必要，直接比较主串的第二位是否为a。如果比较到主串的第二位才发生错误，则主串第一位肯定为a，第二位肯定不为b，此时不能直接跳到第三位进行比较，因为第二位还可能是a，所以对主串的第二位再进行一次比较，偏移了1位，故模式串第二位的nextval值为1。以此类推，nextval值分别为：01021302。其中第六位的nextval之所以为3，是因为，如果主串比较到第六位才发生不匹配现象，那么主串的前五位必定为“abaab”且第六位必定不是“c”，但第六位如果为“a”的话，那么我们就可以从模式串的第四位继续比较下去。所以，这次比较为：

 

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
a	b	a	a	b	*	*	*	*	*	*	*
			a	b	a	a	b	c	a	c

    而不是：

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
a	b	a	a	b	*	*	*	*	*	*	*
					a	b	a	a	b	c	a

    因为前两位a和b已经确定了，所以不需要再进行比较了。所以模式串第六位的nextval值为这次比较的偏移量3。
    再来看求nextval数组值的第二种方法（个人觉得这个方法好理解点）。

模式串	a	b	a	a	b	c	a	c
next值	0	1	1	2	2	3	1	2
nextval值	0	1	0	2	1	3	0	2

    1.第一位的nextval值必定为0，第二位如果于第一位相同则为0，如果不同则为1。
    2.第三位的next值为1，那么将第三位和第一位进行比较，均为a，相同，则，第三位的nextval值为0。
    3.第四位的next值为2，那么将第四位和第二位进行比较，不同，则第四位的nextval值为其next值，为2。
    4.第五位的next值为2，那么将第五位和第二位进行比较，相同，第二位的next值为1，则继续将第二位与第一位进行比较，不同，则第五位的nextval值为第二位的next值，为1。
    5.第六位的next值为3，那么将第六位和第三位进行比较，不同，则第六位的nextval值为其next值，为3。
    6.第七位的next值为1，那么将第七位和第一位进行比较，相同，则第七位的nextval值为0。
    7.第八位的next值为2，那么将第八位和第二位进行比较，不同，则第八位的nextval值为其next值，为2。
    在“aaaab”内进行验证。

模式串	a	a	a	a	b
next值	0	1	2	3	4
nextval值	0	0	0	0	4