POJ 2125 最小割最小点权覆盖

做这题还是看了Amber大神的论文...

还是在这里冗余一下吧：

点覆盖集：无向图G的一个点集，使得该图中所以边都至少有一个端点在该集合内。形式化的定时意思点覆盖集为V'∈V，满足对于所有的(u,v)∈E,都有u属于V'或v属于V'成立，即至少一个成立。形象的说是若干点“覆盖”住了与他们邻接的边。这些边恰好组成了原边集。

最小点覆盖集：   在无向图G中，点数最小的覆盖集。

最小点权覆盖集：在带点权无向图G中，点权之和最小的点覆盖集。

通常解法：

建立源点，向X部每个点连边；建立汇点，从Y部的每个点向t连边，二分图中的边看成有向的。则任意一条从s-t的路径，一定具有s-u-v-t的形式。割的性质是不存在一条从s到t的路径。故路径上的三条边中至少有一条在割中。人为的使得(u,v)不在割中，即建立容量为INF的边(u,v)。则(s,u),(v,t)至少有一条边在最小割中，正好与点覆盖集限制条件的形式相符合。目标为求最小化点权之和，恰好也是最小割的优化模型。

怎样求割边？

割边为分割S集合与T集合的边，所以我们只需要通过DFS把能与s点连接的边都找出来，作为S集合，剩下的作为T集合中的点，则(s,u)或(v,t)这两种边的端点不在同一集合中的话，就是割边了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#define MN 222
#define INF 0x7FFFFFFF
#define CC(a) memset( a,0,sizeof(a) )
#define FF(i,N) for( int i=0;i<N;i++ )
template<class T> inline void checkmin( T &a,T b ){ if( a>b||a==-1 ) a=b; }
using namespace std;

int cap[MN][MN],maze[MN][MN],gap[MN],dis[MN],cur[MN],pre[MN];
int N,M,s,t;

void setG()
{
 	 CC(cap);CC(maze);
 	 s=0;t=2*N+1;
 	 for( int i=1;i<=N;i++ )
 	 	  scanf( "%d",&cap[i+N][t] );
 	 for( int i=1;i<=N;i++ )
 	 	  scanf( "%d",&cap[s][i] );
 	 int u,v;
 	 FF( i,M ){
	  	 scanf( "%d%d",&u,&v );
	  	 cap[u][v+N]=INF;
	 }
}

int sap()
{
 	CC(cur),CC(gap),CC(dis);
 	int u=pre[s]=s,maxflow=0,aug=-1;
 	gap[0]=t+1;
 	while( dis[s]<=t ){
loop:
	 	   for( int v=cur[u];v<=t;v++ )
	 	   if( (cap[u][v]-maze[u][v])>0&&dis[u]==dis[v]+1 )
	 	   {
		   	   pre[v]=u;
		   	   cur[u]=v;
		   	   checkmin( aug,cap[u][v]-maze[u][v] );
		   	   u=v;
		   	   if( v==t )
		   	   {
			   	   maxflow+=aug;
			   	   for( u=pre[u];v!=s;v=u,u=pre[u] ){
				   		maze[u][v]+=aug;
				   		maze[v][u]-=aug;
			   	   }
			   	   aug=-1;
   	   		   }
   	   		   goto loop;
		   }
	 	   int mind=t;
	 	   for( int v=0;v<=t;v++ )
	 	   if( (cap[u][v]-maze[u][v])>0&&mind>dis[v] )
	 	   {
		   	   cur[u]=v;
		   	   mind=dis[v];
		   }
		   if( --gap[dis[u]]==0 )break;
		   gap[dis[u]=mind+1]++;
		   u=pre[u];
  	}
  	return maxflow;
}

int rec[MN],vis[MN];
void dfs( int cur )
{
 	 vis[cur]=true;
 	 for( int i=0;i<=t;i++ )
 	 if( cap[cur][i]-maze[cur][i]>0&&!vis[i] )
 	 	 dfs(i);
}

int main()
{
 	while( scanf("%d%d",&N,&M)!=EOF )
 	{
	 	   setG();
	 	   printf( "%d\n",sap() );
	 	   CC(rec),CC(vis);
	 	   dfs(s);
	 	   int ans=0;
	 	   for( int i=1;i<=N;i++ )
	 	   {
	 	   		if( vis[i]==0 )
	 	   			ans++;
	 	   		if( vis[i+N]==1 )
	 	   			ans++;
		   }
		   printf( "%d\n",ans );
		   for( int i=1;i<=N;i++ )
		   {	
		   		if( vis[i]==0 )
		   			printf( "%d -\n",i );
	 	   		if( vis[i+N]==1 )
	 	   			printf( "%d +\n",i );
   		   }
  	}
 	return 0;
}