Floyd-Warshall 算法-- 最短路径（适合节点密集的图）

 由于此算法时间复杂度为O(V³），大多数情况下不如迪杰斯特拉算法的，迪杰斯特拉算法适合于节点疏散的图。

 示例图如下：

 

 

Step 1 创建节点与边的最短路径结果表（直接可达关系），数值表示距离，INF表示不可达

	1	2	3	4
1	0	8	INF	1
2	INF	0	1	INF
3	4	INF	0	INF
4	INF	2	9	0

Step2 找出所有经过1的路径，更新两点间的最短路径

经过1的路径即所有入度和出度路径的组合，总数为入度×出度：

 

 

经过1路径为：

第一条，3-1-2

目前MIN(3->2)为INF，而MIN(3->1->2)=4+8=12 因此MIN(3->2)为12，由于2有更新，故要递归更新所有从3到2可达点的最短路径，而2可达点只有3，MIN(3->3)为0，因此不需要更新。

第二条，3-1-4

目前MIN(3->4)为INF，而MIN(3->1->4)=4+1=5，因此MIN(3->4)为5，由于4有更新，故要递归更新所有从3到4的所有可达点的最短路径，而4的可达点为3和2：

MIN(3->3)=0，MIN(3->2)=MIN(3->1->2)=12  > MIN(3->1->4->2)= 7，因此MIN(3->2)=7

找出所有经过1路径的结果为：

 

 

 

	1	2	3	4
1	0	8	INF	1
2	INF	0	1	INF
3	4	7	0	5
4	INF	2	9	0

Step3 找出所有经过2的路径

 

第1条，1->2->3

因为MIN(1->3)为INF，而MIN(1->2->3)为9，因此MIN(1->3)为9，因为3有更新，所以需要递归更新所有从1到3可达点的最短路径，因为3的可达点为1，而MIN(1->1)不需要更新，为0。现在看第二条路径：

第二条，4->2->3

因此MIN(4->3)为9，而MIN(4->2->3)为3，因此MIN(4->3)=3，因为3有更新，需要递归更新从4到3可达点的最短路径，因为3的可达点为1，而MIN(4->1)为INF，MIN(4->2->3->1)为7，因此MIN(4->1)为7。因为1有更新，继续递归，1的可达点为4和2，MIN(4->4)保持0；目前MIN(4->2)为2，而MIN(4->2->3->1->2)=2+1+4+8=15大于2，因此不需要更新。

找出所有经过2的路径后，结果为：

	1	2	3	4
1	0	8	9	1
2	INF	0	1	INF
3	4	7	0	5
4	7	2	3	0

Step4 找出所有经过3的路径

第1条，4->3->1

MIN(4->1)为7，而MIN(4->3->1)为13，因此不需要更新

第二条，2->3->1

因为MIN(2->1)为INF，而MIN(2->3->1)为5，因此需要更新MIN(2->1)为5。因为更新了1，因此需要更新所有从2到1可达点的路径，1的可达点为4和2，MIN(2->2)不需要更新；目前MIN(2->4)为INF，而MIN(2->3->1->4)为6，因此MIN(2->4)为6。因为更新了4，因此需要递归更新从2到4可达点的路径，4可达点为2和3，MIN(2->2)为0；MIN(2->3)为1小于MIN(2->3->1->4->3)=1+4+1+9=15，故也不需要更新。

所以经过这一步，结果表为：

 

 

 

	1	2	3	4
1	0	8	9	1
2	5	0	1	6
3	4	7	0	5
4	7	2	3	0

最后，找出经过4的路径。

 

第一条，1->4->2

MIN(1->2)为8，而MIN(1->4->2)为3，因此MIN(1->2)更新为3，由于更新了2，故需要更新所有从1到2可达点的最短路径，2的可达点为3，MIN(1->3)目前为9，而MIN(1->4->2->3)为4，因此MIN(1->3)更新为4，由于更新了3，故递归更新所有从1到3可达点的最短路径，3的可达点为1，而MIN(1->1)不需要更新保持为0。

第二条，1->4->3

MIN(1->3)为4，而MIN(1->4->3)为10，因此不需要更新。所以最终结果为：

	1	2	3	4
1	0	3	4	1
2	5	0	1	6
3	4	7	0	5
4	7	2	3	0