趣题：公司应该雇用多少员工？

转自:  http://www.matrix67.com/blog/archives/4429

某大公司有这么一个规定：只要有一个员工过生日，当天所有员工全部放假一天。但在其余时候，所有员工都没有假期，必须正常上班。这个公司需要雇用多少员工，才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大？

    假设一年有 365 天，每个员工的生日都概率均等地分布在这 365 天里。


    你的第一感觉或许是，公司应该雇用 100 多人，或者 200 多人吧。答案或许会让你大吃一惊：公司应该雇用 365 个人。注意，雇用 365 个人并不意味着全体员工全年的总工作时间为 0 ，因为 365 个人的生日都是随机的，恰好每天都有一个人过生日的概率极小极小。下面我们就来证明，这个问题的最优解就是 365 人。
    由于期望值满足线性关系（即对于随机变量 X 和 Y 有 E(X) + E(Y) = E(X+Y) ），因此我们只需要让每一天员工总工作时间的期望值最大就可以了。假设公司里有 n 个人，那么在特定的一天里，没有人过生日的概率是 (364/365)^n 。因此，这一天的期望总工作时间就是 n · (364/365)^n 个工作日。为了考察函数 n · (364/365)^n 的增减性，我们来看一下 ((n+1) · (364/365)^(n+1)) / (n · (364/365)^n) 的值，它等于 (364 · (n+1)) / (365 · n) 。如果分子比分母小，解得 n > 364 。可见，要到 n = 365 以后，函数才是递减的。
    这个问题的答案非常出人意料，反直觉性恐怕不亚于经典的生日悖论。它应该可以看作是生日悖论番外篇了吧。对于这个答案，还有什么更直观，更有启发性的解释吗？大家一起来想想吧。