炮兵阵地详解

NOI2001 炮兵阵地详解

【题目描述】
 
司令部的将军们打算在N*M的网格地图上部署他们的炮兵部队。一个N*M的地图由N行M列组成，地图的每一格可能是山地（用"H" 表示），也可能是平原（用"P"表示），如下图。在每一格平原地形上最多可以布置一支炮兵部队（山地上不能够部署炮兵部队）；一支炮兵部队在地图上的攻击范围如图中黑色区域所示：
                    

如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队，则图中的黑色的网格表示它能够攻击到的区域：沿横向左右各两格，沿纵向上下各两格。图上其它白色网格均攻击不到。从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。
现在，将军们规划如何部署炮兵部队，在防止误伤的前提下（保证任何两支炮兵部队之间不能互相攻击，即任何一支炮兵部队都不在其他支炮兵部队的攻击范围内），在整个地图区域内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。
 

【输入文件】Input
 
第一行包含两个由空格分割开的正整数，分别表示N和M；
接下来的N行，每一行含有连续的M个字符('P'或者'H')，中间没有空格。按顺序表示地图中每一行的数据。N <= 100；M <= 10。
 

【输出文件】Output
 
仅一行，包含一个整数K，表示最多能摆放的炮兵部队的数量。
 

【输入样例】Sample Input
 
5 4
PHPP
PPHH
PPPP
PHPP
PHHP
 

【输出样例】Sample Output
 
6

【题目解析】

思路一：

    对于一个位置，如果它部署了一支部队，那么会对它的前后左右的2格位置产生影响，如果以行作为状态，则不能单单由上一状态转移，那样的话不能保证在它的2格处不发生矛盾，而在这个题目中，以行做状态又很明显，所以在状态的转移时必须是上一行的状态和上上行的状态一起转移，如果用f[i,j,k]来表示在第i行时，取第j个状态（注意是第j个状态），i-1行取的是第k个状态，那么不难得出状态转移方程：

     f[i,j,k]=max{f[i,j,k],f[i-1,k,l]+ff[i,j]}

    解释一下这个方程i,j,k的含义如上述，l表示在第i-2行取第l个状态，ff[i,j]表示在第i行取第j个状态时在该行放置的多少支部队，由于第二行仅与第一行有关，所以要对第二行进行一下特殊处理，对于第二行，我们有

     f[2,j,k]=max{ff[2,j]+ff[1,k]};

     这样一来，对动态规划的模型基本处理就完成了，同时我们发现，在m=10时，每一行的状态有2^10种，显然时间和空间都不能承受，必须做出优化，仔细阅读题目，发现如果一个点部署了部队，则其前后两格范围内均不能再部署部队，而且在一个格子为H时，它根本不能部署部队，因此，在许多的状态中，有许多状态是自相矛盾的，根本不需要考虑，可以用某种预处理，把状态提取出来，仅仅储存有用的状态，在这里我的方法是用深度优先搜索预处理一下，try(x:longint)为处理某一行的第x个位置，如果这个位置部署部队，那么x+1,x+2这两个位置都不能放，直接try(x+3)即可，而如果这个地方是山地，就不能放，则try(x+1),即使是平原，也可以不去部署部队，因此还原后也要try(x+1)，预处理结束。

     对于状态的储存，为了简洁，用一个二进制数来表示，如当m=4时有一种状态为放，不放，不放，放，就用1代表放，0代表不放，这个二进制数为1001，转化为十进制数为9.这样状态的储存问题就迎刃而解了。

     接下来，判断状态的矛盾问题，这用到了位运算的知识，1001and0011=0001 这已经很明了了，判断两行间的状态是否矛盾，只需要用（状态1）and（状态2），如果结果是0，说明两个状态不矛盾。

 

思路二：

    因为听说是经典的状态压缩DP才做的，所以即使听闻有人用搜索过了，我还是决定试一下用DP（不过其实是十分类似与搜索的）。
    解题思路大致是这样的，假设地图存在map数组中，对于map[i][j]如果是P，就可以有放兵与不放兵两种方案，但对于在i和j位置之前的所有P的摆放方案有多种方案，我们将这两种方案分别去尝试与Pij之前所有方案结合，则Pij又会有很多种方案。
    
    即，取status[i]={从左上方开始第i个P的方案集} （ij位置上是P），动态方程可以表示为：
    status[i] = status[i-1] ∪ {x∈status[i-1] | valid(x & Pi)}        x & Pi 是指将Pi放在x方案中，valid是检验方案的合法性。
    
    valid函数可以用采用以下约束条件：
        当前方案中，Pi的位置上无士兵或可能被上下攻击的可能。
        当前方案中，Pi的左边2格无士兵，右边2格也无士兵，即无左右受攻击的可能。

    光有这些是不够的，因为无论从空间还是时间上都会超出题目要求的范围。

    为了解决空间问题，我们可以对行进行压缩状态，我采用类似4进制的表示方式来压缩状态：
        encode(int[] solution, int length){
            int result = solution[0]*1 + solution[1]*(4) ... + solution[radix-1]*(4^(length-1))
        }
    decode类似。

    比如 PHPP，对于第三个P就可以有以下几种状态：
        3000、0030、0000、3003、0003

    在进入下一行的动规时，需要对每个非0数减一，依上例，经过一行后得：
        2000、0020、0000、2002、0002

    该状态的某个位置上有数，表示在纵向上有士兵可以攻击，横向的攻击直接求左边两个是否为3就行了。因为DP顺序是自左向右、自上向下的。所以对于每个士兵的攻击只需考虑两个方向而不是四个方向。

    为避免浪费大量空间，根据动态方程，我们只需要保留status[i-1] 的状态集就行了，然后更新status[i]为status[i-1]，继续求解。所以我取BitSet记录status[i]的所有状态集（因为状态已经可以被压缩为一个int值了），另外我用索引数组的方式记录某状态当前的最佳值。
    同样以PHPP为例：3000可以压缩为3（反过来压也可以，只要解压和压缩是对称的就行），其solution[3] =1，0030压缩为48，solution[48]=1，3003压缩为195，solution[195]=2。在对以后每行的状态集的维护中，记得保持solution[x]的最大值。
    对于更新status[i]要注意，求status[i]时使用的BitSet是status[i-1]的，千万不要用正在修改的status[i]的BitSet求，可以使用一个BitSet backup来辅助保存。

    通过以上处理，基本上就可以保证空间上不超时了，但是时间的问题依然存在。由于status[i]的BitSet在不断扩大，所以每个更新status[i+1]都是件越来越麻烦的事情。为了控制BitSet的大小，需要像搜索中剪支一样，剪去一些不可能产生最优解的状态。
    我使用的剪支方案是，单行的最大摆放士兵数是(int)((m+2)/3)，所以对于某一状态来说，如果该状态的解值+单行最大摆放士兵数<目前最优解，那么就可以忽略该方案了。因为我们的状态记录的是一行的状态情况，所以对于第i行某一状态而言，加上下行最大的摆放士兵数都无法达到最优解的话，那么就没必要继续保留该状态到下行了，所以可以略去。