初识二分图最大匹配

初次接触到二分图最大匹配是在http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2063

离散数学中有涉及到二分图，完全二分图，匹配，最大匹配及完全匹配的定义，这里就不多做解释。简单介绍一下增广路的概念及其性质。

 设M为二分图G的一个匹配。M中的端点称为M-顶点，其它顶点称为非M-端点。则增广路径：除了起点和终点是非M-顶点，其它路径上所有的点都是M-顶点，且它的边为匹配边和非匹配边交替出现。

增广路径的性质：

1. 有奇数条边。
2. 起点在二分图的左半边，终点在右半边。
3. 路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。（其实二分图的性质就决定了这一点，因为二分图同一边的点之间没有边相连，不要忘记哦。）
4. 整条路径上没有重复的点。
5. 起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。
6. 路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。
7. 最后，也是最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。

以上7条性质是借鉴某大牛的。

了解了增广路的定义以及性质之后，我们仔细理解第7条性质。因为增广路径的长度为奇数，我们不妨设为2*K+1，又因为第一条是非匹配边，且匹配边与非匹配边交替出现，所以非匹配边有K+1条，匹配边有K条。此时，我们做取反操作，则匹配边的个数会在原来的基础上+1。求最大匹配的“匈牙利算法”即是此思想：无论从哪个匹配开始，每一次操作都让匹配数+1，不断扩充，直到找不到增广路径，此时便得到最大匹配。

匈牙利算法的基本模式：

           初始时最大匹配为空

           while （找得到增广路径）

            do  把增广路径加入到最大匹配中。

如果二分图的左半边一共有n个点，最多找n条增广路径，如果图中有m条边，每一条增广路径把所有边遍历一遍，所以时间复杂度为

O（n*m）;

从学二分图匹配中较为重要的三个公式：

二分图最小顶点覆盖 = 二分图最大匹配；

DAG图的最小路径覆盖 = 节点数（n）- 最大匹配数；

二分图最大独立集 = 节点数（n）- 最大匹配数；

二分图匹配关键思想在于构图（个人意见哈），能够把一个实际问题通过构图和二分匹配联系起来是比较重要的。

贴一下2063代码：

#include<stdio.h> #include<string.h> #define MAXN 505 int map[MAXN][MAXN],match[MAXN],visited[MAXN]; int DFS(int v,int N) { int i; for(i=1;i<=N;i++){ if(!visited[i]&&map[v][i]){ visited[i]=1; if(DFS(match[i],N)||!match[i]){ match[i]=v; return 1; } } } return 0; } int main() { int K,M,N,i,j; while(scanf("%d%d%d",&K,&M,&N)!=EOF&&K){ memset(map,0,sizeof(map)); int x,y; for(i=1;i<=K;i++){ scanf("%d%d",&x,&y); map[x][y]=1; } memset(match,0,sizeof(match)); for(i=1;i<=M;i++){ memset(visited,0,sizeof(visited)); DFS(i,N); } int num=0; for(i=1;i<=N;i++){ if(match[i]) num++; } printf("%d/n",num); } return 0; }

相关练习：HDU-1068， HDU-1150 ,HDU-1151 ,HDU-1281 ,HDU-1498, HDU-1528 ,HDOJ-1507