MaxEnt: 最大熵模型(Maximum Entropy Models)
转自：http://www.zhizhihu.com/html/y2011/3489.html
刚看完HMM，因为有个ME-HMM方法，所以再看看最大熵模型，最后再把CRF模型看看，这一系列理论大体消化一下，补充一下自己的大脑，方便面试什么的能够应付一些问题。
多读书，多思考，肚子里才有东西。
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什么是熵？咱们这里只看信息以及自然界的熵吧。《Big Bang Theory》中Sheldon也经常把这个熵挂在嘴边。在咱们的生活中，你打碎了一块玻璃，或者洒落了一盒火柴，很自然的事情就是玻璃碎的一塌糊涂，根本没有规律可言。火柴也是，很乱，你难道从中找到规律么？规律是什么东西？规律的反面是什么？其实很有意思的事情就是自然界的东西尽可能的互补以及平衡，火柴很乱，那就规律性很小。
乱+序=1.
既然=1，那么这个乱也能描述啦？这就是熵的概念，熵是描述事物无序性的参数，熵越大则无序性越强。
我们更关注的是信息熵，怎么用熵来描述信息，不确定性等等。怎么用数学式子进行形式化描述呢？前人已经做了很多工作了：
设随机变量 ξ ，他有 A
1
、 A
2
.... A
n
共 n
个不同的结果，每个结果出现的概率为 p
1
， p
2
.... p
n
，那么 ξ
的不确定度，即信息熵为：
H(ξ)=∑i=1
n
p
i
log1
p
i
=−∑
i=1
n
p
i
logp
i
熵越大，越不确定。熵为0，事件是确定的。例如抛硬币，每次事件发生的概率都是1/2的话，那么熵=1：H(X)=-(0.5log0.5+0.5log0.5)=1。
那么这个式子是怎么来的呢？为什么会用log表示？我也不知道啊，查查文献。不过【参考5】中举了几个简单的例子来说明一下过程，这里引用下。
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例子：称硬币的问题，说有5个硬币，其中有一个是假的，这个假硬币的重量很轻，所以打算用一个天平称称，问需要最少称几次就能够保证把这个假硬币给找出来？这个问题其实是一个很经典的问题，也有另外一个类似的问题是毒水和白鼠的问题，5瓶水其中一瓶有毒，用最少几只白鼠能够保证把毒水找出来？
其实这个问题有个统一的解法就是对半分呗，二叉树，二进制等。
拿硬币的例子，可以取四个放在天平两端，如果相等那么剩下的那个就是假的。如果不相等，把轻的一端的两个硬币再称一次就知道假的了。因为这样称两次就能够保证把假硬币找出来了。这里称的事件是有三个结果的：左边重、相等、右边重。
拿小白鼠的例子，小白鼠只有活着和中毒两种状态，咱们这里人性一点儿，有解药可以解毒的，只要实验达到目的就行。那么把水分成两组，一组两瓶，一组三瓶，让一只小白鼠和一组，如果中毒，假设是三瓶的那一组，那么再递归的讲这三瓶分组，最坏情况下是用3只小白鼠。这里小白鼠的事件只有两个结果：中毒、健康。
我们假设x是那瓶毒水的序号， x∈X={1,2,3,4,5} ，y是第i只小白鼠的症状， y∈Y={1,2}
,，1表示健康，2表示中毒。
用二进制的思想的话就是设计编码 y1
y
2
...y
n
使他能够把x全部表示出来。因为一个y只有两个状态，所以要有三个y并列起来才能表示 2×2×2=2
3
=|Y|
3
=8>5
。所以是用三只小白鼠。上面称硬币的问题由于一个y可以表示三个状态，所以需要两个 3∗3=9>5
就可以表示完所有的x了。
思想是这样的，从上面的分析可以看出，我们只用到的是 x ， y
的状态，而没有用 x
， y
的内容以及意义。也就是说只用了 X
的“总不确定度”以及 Y
的“描述能力”。
拿小白鼠和毒水的例子， X 的"总不确定度": H(X)=log|X|=log5
。 Y
的“描述能力”为： H(Y)=log|Y|=log2
。
所以至少要用多少个Y才能够完全准确的把X表示出来呢？
H(X)H(Y)
=log5
log2
=2.31
所以得用三只小白鼠。称硬币那个问题由于 Y 的表示能力强啊， log3
的表示能力，所以表示 X
的时候仅仅需要1.46的y就行了，所以就是称2次。
那么为什么用 log 来表示“不确定度”和“描述能力”呢？前面已经讲过了，假设一个 Y
的表达能力是 H(Y)
。显然， H(Y)
与 Y
的具体内容无关，只与 |Y|
有关。所以像是 log|Y|
n
这种形式，把n就可以拿出来了，因为关系不大所以扔掉n就剩下 log|Y|
了。
“不确定度”和“描述能力”都表达了一个变量所能变化的程度。在这个变量是用来表示别的变量的时候，这个程度是表达能力。在这个变量是被表示变量的时候，这个程度是不确定度。而这个可变化程度，就是一个变量的熵（Entropy）。显然：熵与变量本身含义无关，仅与变量的可能取值范围有关。
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下面看称硬币以及小白鼠毒水问题的一个变种：
（1）已知第一个硬币是假硬币的概率是三分之一；第二个硬币是假硬币的概率也是三分之一，其他硬币是假硬币的概率都是九分之一。（2）毒水也是，第一瓶是毒水的概率是1/3。。。以此类推。
最后求称次数或者小白鼠数量n的期望。因为第一个、第二个硬币是假硬币的概率是三分之一，比其他硬币的概率大，我们首先“怀疑”这两个。第一次可以把这两个做比较。成功的概率是三分之二。失败的概率是三分之一。如果失败了，第二次称剩下的三个。所以，期望值是：
13
×log3
log3
+1
3
×log3
log3
+1
9
×log9
log3
+1
9
×log9
log3
+1
9
×log9
log3
=4
3
小白鼠的也可以同理求出来。为什么分子会有 log3 、 log9
呢？其实分子的 log3
、 log9
表示的都是“不确定度”。事件发生的确定性为1/3，那么不确定度可以理解为 log3=log1
1/3
，再除以y的“表达能力”，就是每一次猜测的输出结果了，再根据期望公式 ∑
i
x
i
p
i
就可以求一下期望。不知道理解的对不对？
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更广泛的，如果一个随机变量x的可能取值为 X={x1
,x
2
,...,x
k
}
，要用n位 y:y
1
y
2
...y
n
表示出X来，那么n的期望是：
∑i=1
k
p(x=x
i
)log1
p(x=x
i
)
log∣
∣
Y∣
∣
=∑
i=1
k
p(x=x
i
)log1
p(x=x
i
)
log∣
∣
Y∣
∣
其实分子式不确定度，分母就是表达能力。那么 X 的信息量为：
H(X)=∑i=1
k
p(x=x
i
)log1
p(x=x
i
)
这就是熵的定义了是吧？我们就算凑出来了。X的具体内容跟信息量无关，我们只关心概率分布，于是H(X)可以写成：
H(X)=∑i=1
k
p(x)log1
p(x)
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有时候我们知道x,y变量不是相互独立的，y的作用会影响x的发生，举个例子就是监督学习了，有了标记y之后肯定会对x的分布有影响，生成x的概率就会发生变化，x的信息量也会变化。那么此时X的不确定度怎么表示呢？
H(X|Y)=∑(x,y)∈X×Y
p(x,y)log1
p(x∣
∣
y)
这个其实就是条件熵Conditional Entropy。很显然，Y加入进来进行了标记之后，就引入了知识了，所以会减小X的不确定性，也就是减小了熵。所以知识能够减小熵。
那么有了部分标记，我们就有了知识，就可以预测一部分模型，这个模型对未知的知识还是保留着熵，只是这个熵被减少了。但是我们知道熵越大，数据分布越均匀，越趋向于自然。
所以我们就想，能够弄出个模型，在符合已知知识的前提下，对未知事物不做任何假设，没有任何偏见。也就是让未知数据尽可能的自然。这就是最大熵模型(Maximum Entropy Models)了。
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【【未完待续：MaxEnt: 最大熵模型(Maximum Entropy Models)(二)】】
上面《MaxEnt: 最大熵模型(Maximum Entropy Models)(一)》其实就是讲了下熵，下面我们继续最大熵模型(Maximum Entropy Models)。
最大熵原理指出，当我们需要对一个随机事件的概率分布进行预测时，我们的预测应当满足全部已知的条件，而对未知的情况不要做任何主观假设。在这种情况下，概率分布最均匀，预测的风险最小。因为这时概率分布的信息熵最大，所以人们称这种模型叫“最大熵模型”。我们常说，不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里，其实就是最大熵原理的一个朴素的说法，因为当我们遇到不确定性时，就要保留各种可能性。说白了，就是要保留全部的不确定性，将风险降到最小。----摘自《Google黑板报》作者：吴军
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继续用【参考5】的例子。
“学习”这个词可能是动词，也可能是名词。可以可以被标为主语、谓语、宾语、定语……
令 x1
表示“学习”被标为名词， x
2
表示“学习”被标为动词。令 y
1
表示“学习”被标为主语， y
2
表示被标为谓语， y
3
表示宾语， y
4
表示定语。得到下面的表示：
p(x1
)+p(x
2
)=1
∑
i=1
4
p(y
i
)=1
如果没有其他的知识，根据信息熵的理论，概率趋向于均匀。所以有：
p(x1
)=p(x
2
)=0.5
p(y
1
)=p(y
2
)=p(y
3
)=p(y
4
)=0.25
但是在实际情况中，“学习”被标为定语的可能性很小，只有0.05。我们引入这个新的知识： p(y4
)=0.05
，在满足了这个约束的情况下，其他的事件我们尽可能的让他们符合自然，符合均匀分布：
p(x1
)=p(x
2
)=0.5
p(y
1
)=p(y
2
)=p(y
3
)=0.95
3
嗯，如果再加入一个知识，当“学习”被标作动词的时候，它被标作谓语的概率为0.95，这个其实是很自然的事情。都已经是动词了，那么是谓语的可能性就很大了：
p(y2
|x
1
)=0.95
已经有了两个知识了，第二个还是条件概率的知识，那么其他的我们尽可能的让他们不受约束，不受影响，分布的均匀一些，现在应该怎么让他们符合尽可能的均匀分布呢？
其实就是使熵尽可能的大就行了。也就是有个分布p，他尽可能的把训练集中的知识表示出来，损失最小，并且还能够保证p的熵最大：
p∗
=argmax
p
H(p)
那约束是什么呢？
用概率分布的极大似然对训练语料表示如下，其中是 Count(x,y) 在语料中出现的次数，N为总次数：
p¯
(x,y)=1
N
×Count(x,y)
在实际问题中，由于条件x和结果y取值比较多样化，为模型表示方便起见，通常我们将条件x和结果y表示为一些二制特征。对于一个特征 (x0
,y
0
)
，定义特征函数：
f(x,y)={1:y=y0
&x=x
0
0:others
特征函数在样本中的期望值为：
p¯
(f)=∑
(x
i
,y
i
)
p
¯
(x
i
,y
i
)f(x
i
,y
i
)
其中 p¯
(x,y)
在前面已经数了，数数次数就行。
有了训练集，我们就能够训练一个模型出来，特征f在这个模型中的期望值为：
p(f)=∑(x
i
,y
i
)
p(x
i
,y
i
)f(x
i
,y
i
)=∑
(x
i
,y
i
)
p(y
i
|x
i
)p(x
i
)f(x
i
,y
i
)=∑
(x
i
,y
i
)
p(y
i
|x
i
)p
¯
(x
i
)f(x
i
,y
i
)
其中 p¯
(x
i
)
为x出现的概率，数数归一化就行。
好了，约束来了，有了样本的分布，有了模型，那么对每一个特征(x,y)，模型所建立的条件概率分布要与训练样本表现出来的分布相同：
p(f)=p¯
(f)
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目标函数有了，约束有了，归纳一下最大熵模型(Maximum Entropy Models)。
p∗
=argmax
p∈P
H(Y|X)
P={p|p是y|x的概率分布并且满足下面的条件}，对训练样本，对任意给定的特征 fi
：
p(fi
)=p
¯
(f
i
)
展开：
p∗
=argmax
p∈P
∑
(x,y)
p(y|x)p
¯
(x)log1
p(y∣
∣
x)
约束P为：
P=⎧⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
p(y|x)∣
∣
∣
∣
∣
∀f
i
:∑
(x,y)
p(y|x)p
¯
(x)f
i
(x,y)=∑
(x,y)
p
¯
(x,y)f
i
(x,y)
∀x:∑
y
p(y|x)=1
⎫
⎭
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
========
都齐了，该求解了吧？哈哈，有没有看过wiki上的关于拉格朗日乘子Lagrange Multiplier的问题，恰好这里面有个例子就是求最大熵的，哈哈。所以我们可以用拉格朗日乘子法来求解。
对于有k个约束的优化问题：
可以引入k个拉格朗日算子
，那么拉格朗日函数为：
OK，咱们开始一步一步的带入求解 ∂L∂p
=0
。
由于约束中有两部分组成，对于第二部分，我们引入拉格朗日算子为 γ :
下面就是就偏微分=0计算最优解了：
求得最优解的参数形式：
但是里面还有参数，所以我们必须求得 γ∗
和 Λ
∗
。
巧妙的是我们发现最后节的后面部分有个类似的常数项：
而且有意思的是，前面问题的第二个约束中有：
从而：
也就是式子中的关于 γ 的常数项我们用关于 Λ
的常数项进行代替了，这样参数就剩下一个了：
那么剩下的一个参数 Λ 应该怎么进行求解呢？
解法以及最大熵模型与最大似然估计的关系在参考5中很详细，还有GIS以及IIS的方法进行求解，以后再写《MaxEnt: 最大熵模型(Maximum Entropy Models)(三)》。
有什么问题请留言。
参考：
1、A maximum entropy approach to natural language processing (Adam Berger)
2、A Brief MaxEnt Tutorial (Adam Berger)
3、Learning to parse natural language with maximum entropy models (Adwait Ratnaparkhi)
4、中科院刘群教授《计算语言学-词法分析（四）》
5、《最大熵模型与自然语言处理》：laputa，NLP Group, AI Lab, Tsinghua Univ.