数学分析教程 第十五章学习感受

这一章讲函数项级数，主要是围绕着3个问题展开的。假设f(x)是由无限个初等函数的和组成的，那么f(x)是否连续，他的导数和积分是否等于那些初等函数求导和积分以后再求和的结果？并不是所有的函数都是这样的，这中间就牵扯出一个一致连续的概念。满足相关的条件的函数才能有上述优美的性质。
讨论完普通的级数，书中又着重讨论了幂级数。原因是因为它在实际的使用中非常广泛，而且他是任意光滑的。首先要确定幂级数是否收敛，它的收敛半径是多少，然后就是利用逐项求导或者逐项积分的办法，求一些幂级数的和函数。
一个与之相反的问题是，如何把一个函数用幂级数展开，其实这与上面一个问题是类似的，只需要知道初等函数的展开式，然后通过求导或者积分的办法凑出来就行了。
剩下的一些内容就是一些应用方面的了。用多项式一致逼近连续函数主要是提出了一直逼近的概念，通俗的说就是要多精确有多精确，只要我增加多项式的阶数。这其实也是一门大学问，在通信中经常使用的数字滤波器中，就有一类是通过多项式逼近来设计的，书上举的例子只是为了说明有这么一回事罢了。
组合数学上的应用的例子其实只讲了组合数的一个计算，另外一个例子是求fibonacci数列的通项公式。这个例子很有典型性，该方法可以计算任意线性递推关系数列的通项公式。
最后讲了处处连续且处处不可导的函数，他也是用函数项级数构造的，它的作用在于以前人们没有意识到还有这样的函数存在；另外一个例子是填满正方形的曲线，也是用幂级数构造的。并且由他们引出了分形几何的概念。