解析 Miller - Rabin 素数测试思想

1、Miller - Rabin 素数测试

定义：令 n - 1 = ( 2^s ) * d，其中 s 是非负整数，d 是正奇数。若 a^d =1 ( mod n ) 或 a^((2^r)*d) = -1 ( mod n )，0 <= r <= s - 1，则称 n 通过以 a 为基的 R-M 测试。

定理：若 n 为奇合数，则 n 通过以 a 为基的 R-M 测试的数目最多为 ( n - 1 ) / 4， 1 <= a <= n - 1

这便是 Miller - Rabin 素数测试的基本思想。

2、二次探测定理：

若 p 为素数，且 0 < x < p，则方程 x * x = 1 ( mod p ) 的解为 x = 1, p - 1 ( mod p )。

事实上 x * x = 1 ( mod p ) 等价于 x * x - 1 = 0 ( mod p )，则 ( x - 1 )( x + 1 ) = 0 ( mod p )。故 p 须整除 x - 1 或 x + 1，由 p 为素数且 0 < x < p，推出 x = 1 ( mod p ) 或 x = p - 1 ( mod p )。

3、费马小定理：

若 p 为素数，且 0 < a < p，则 a^(p-1)  = 1 ( mod p )。

M - R 素数测试的思想最重要的就是如何分析和理解“二次探测定理”，或者称为“平方探测法”。整个 M - R 的测试过程就是围绕着该定理展开的。

下面给出 M - R 测试的伪代码：

Input: n > 2, an odd integer to be tested for primality; k, a parameter that determines the accuracy of the test Output: composite if n is composite, otherwise probably prime write n − 1 as 2^s·d with d odd by factoring powers of 2 from n − 1 LOOP: repeat k times: pick a randomly in the range [2, n − 2] x ← a^d mod n if x = 1 or x = n − 1 then do next LOOP for r = 1 .. s − 1 x ← x^2 mod n if x = 1 then return composite if x = n − 1 then do next LOOP return composite return probably prime

只要理解了“平方探测法”，那么 M - R 的思想和正确性就很好理解了。

可操作的 M - R 测试素数法并非对 0 < a < p 进行全遍历，而是采用 a = Random [ 2, p - 2 ] 的方式。因此存在误判为 Carmichael 数的情况。

经我在 VC 10 平台，采用 __rdtsc() 取随机数的方式：

三次 M - R 循环测试，误报率不到“千万分之二”。

两次 M - R 循环测试，误报率不到“百万分之一”。

效率上，VC 10 RELEASE 模式下，采用三次循环 M - R，测试第 19999 个素数 224729 时，快除法快
而测试第 20000 个素数 224737 时，M - R 法快

因此，为保证最高效，测试大数 n 时，可以先对其使用前 19999 个素数进行快除法排除，而后再使用 M - R 测试。

生成和测试N位大素数的方法
http://blog.csdn.net/hikaliv/archive/2009/06/03/4240167.aspx

有志于学，虽草庐中应可知天下事！