找出一个数组里面前K个最大数

前言：今天早上来实验室，同桌问了我一个问题：找出一个数组里面前K个最大数的高效算法。最近正好在看数据结构和算法相关内容，便以己之力帮她思考了思考。

问题：找出一个数组里面前K个最大数。

解法：

1.第一感觉就是对数组进行降序全排序，然后返回前K个元素，即是需要的K个最大数。

排序算法的选择有很多，考虑数组的无序性，可以考虑选择快速排序算法，其平均时间复杂度为O(NLogN)。具体代码实现可以参见相关数据结构与算法书籍。

2.观察第一种算法，问题只需要找出一个数组里面前K个最大数，而第一种算法对数组进行全排序，不单单找出了前K个最大数，更找出了前N(N为数组大小)

个最大数，显然该算法存在“冗余”，因此基于这样一个原因，提出了改进的算法二。 

首先建立一个临时数组，数组大小为K，从N中读取K个数，降序全排序(排序算法可以自行选择，考虑数组的无序性，可以考虑选择快速排序算法)，然后依

次读入其余N - K个数进来和第K名元素比较，大于第K名元素的值则插入到合适位置，数组最后一个元素溢出，反之小于等于第K名元素的值不进行插入操作。

只待循环完毕返回临时数组的K个元素，即是需要的K个最大数。同算法一其平均时间复杂度为O(KLogK + (N - K))。具体代码实现可以自行完成。

算法时间复杂度证明：

原问题：
顺序统计量选择问题：数组A包含N个元素，找出数组A中前K个最大数
解法二：
首先建立一个临时数组，数组大小为K，从N中读取K个数，降序全排序(可以考虑选择快速排序算法，快排平均复杂度O(KlogK))，
然后依次读入其余N - K个数进来和第K名元素比较，大于第K名元素的值则插入到合适位置，数组最后一个元素溢出，反之小于等于第K名元素的值不进行插入操作。
只待循环完毕返回临时数组的K个元素，即是需要的K个最大数。
其平均时间复杂度为O(KLogK + (N - K))。
证明：
设指示器随机变量
Xi = {A属于前K个最大数}，i=K+1, K+2, ..., N;
由于数组A的N个元素分布随机，则E[Xi] = 1/N;
则依次处理其余N - K个数的时间复杂度为T(N-K) = sum(Xi*logK),i=K+1, K+2, ..., N;
(注意logK是将一个数插入到排好序的K个数的时间复杂度)
对上式求期望，得
E[T(N-K)] = E[sum(Xi*logK),i=K+1, K+2, ..., N]
= sum(E[Xi] * logK),i=K+1, K+2, ..., N
= sum(1/n * logK),i=K+1, K+2, ..., N
= (N-K)logK/n < N-K;
综合，该算法平均时间复杂度为
T(N) = O(KLogK + (N - K))。

3.上面两种算法在N=100万，K=50万时速度都尤其“漫长“，现在提出一种更高效的算法，该算法原理和快速排序一致，但只有一个方向的递归，其平均时间

复杂度为O(N)。

先选取一个中值元素(该中值是否合理将影响到算法效率，其原因同快速排序)，然后将大于等于该数的元素放到其右侧，小于该数的放到左侧。如7 4 6 8 0 

-1，选取6作为中值元素，则结果应该为4 0 -1 6 8 7，接下来比较K值和现在的中值元素6所在索引(3)。

如果K小于索引3，则处于包括中值元素在内的右边的元素即是前K个最大数中的前(3(索引) - K + 1)个最大数，予以保存，同时需在索引0 ~ 2间再进行递归操作继续选取第K名。

如果K大于索引3，则在4 ~ 5中递归选取第K - 3(索引) - 1名即可。

还有一关键是可以为递归中的数组长度选取一临界点，小于该临界则进行全排序，而不再进行递归操作。

以上算法均是本人在书本上或者互联网上学习的算法，并非自己原创，当然部分的改动还是自我原创的。

其实当问题规模不是很大时，比如数组大小N很小，N为100数量级，可以不用太追求算法的高效性，因为对于问题规模不大时，上面三种算法的运行时间相差并不大，

完全可以考虑采用第一种或者第二种比较简单的实现方式。