全排序vs八皇后问题vs三角八皇后

假设要求字符串/数组的全排序，例如："123"的全排序，第1位有3种选择，第2位有2种选择，第3位1种选择，时间复杂度显然是3!.实际上容易知道，对于n个字符，全排序一共有n!种可能，是n!时间复杂度的．我们需要找一个算法求出所有的可能的排序，最好的办法是递归，如果选用循环，需要n层嵌套，不太现实．假设我们已经拥有一个函数 FullPermutation(A[n])能将数组A[n]全排序，于是，我们可以将A[n]分为A[1]和A[n-1]两个子问题，其中，A[1]可以有n种选择，选择办法是：将A[1]和A[i]交换,其中，i=1,2,3,4......．记得交换后，需要复原．A[n-1]的全排序可以通过调用FullPermutation()完成．
递推公式：
F(n):  = Done n=1  
  = n*F(n-1) n>1

由上面的分析和递推公式就很容易写出代码了：

#include<iostream>
using namespace std;
void Full_permutation(int* A,int beg,int end)
{
	if(beg == end)
	{
		for(int i=0;i<=end;++i)
			cout<<A[i]<<' ';
		cout<<endl;
		return ;
	}
	for(int i=beg;i <= end; ++i)//A[1]有n种选择，需要n次循环
	{
		swap(A[beg],A[i]);　//选择beg的值
		Full_permutation(A,beg+1,end);//求解n-1子问题
		swap(A[beg],A[i]);
	}
}
int main()
{
	int A[8]={0,1,2,3,4,5,6,7};
	Full_permutation(A,0,7);
	return 0;
}

扩展：由时间复杂度为(n!)，我们容易联想到n皇后问题，最经典的八皇后问题：在8×8的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能相互攻击，即任意两个皇后不得处在同一行、同一列或者同一对角斜线上。我们可以这么分析，先从行入手，第1个皇后可以在第1行上选择8个位置，第2个皇后可以在第2行选择7个位置(只要不和第1个皇后同列)，第3个皇后可以在第1行上选择6个位置(只要不和第1,2个皇后同列)．如果不考虑对角线的攻击方向，那么n皇后问题可以有n!个解，和上面的全排列一样．同样，我们可以先考虑行和列的n!种所有情况，然后排除对角线冲突的情况，进而缩小范围，就可以找出8皇后的解．基于这个想法，八皇后问题并不难．现在，我们还剩下最后一个问题？用什么数据结构保存皇后的二维坐标，其实很容易，用(i,A[i])就可以保存皇后的位置，即一个数组，索引i表示行，A[i]表示列．定义一个A[8]就可以表示八皇后．

由这个思路，代码：

#include<iostream>
using namespace std;
bool isLegalQueens(int* A,int end)
{
	for(int i=0; i<=end; ++i)
	{
		for(int j=i+1; j <=end; ++j)
		{
			if( A[j]-A[i] == j-i || A[j]-A[i] == i-j )//两点的斜率如果为1或-1，则为不合法
				return false;
		}
	}
	return true;
}
void Full_permutation(int* A,int beg,int end)
{
	if(beg == end)
	{
		if(isLegalQueens(A,end))
		{
			for(int i=0;i<=end;++i)
				cout<<A[i]<<' ';
			cout<<endl;
		}
		return ;
	}
	for(int i=beg;i <= end; ++i)//A[1]有n种选择，需要n次循环
	{
		swap(A[beg],A[i]);//选择beg的值
		Full_permutation(A,beg+1,end);//求解n-1子问题
		swap(A[beg],A[i]);
	}
}
int main()
{
	int A[8]={0,1,2,3,4,5,6,7};
	Full_permutation(A,0,7);
	return 0;
}

实训：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2804

Queens

Problem Description

Everyone knows about the "eight queens problem", but today you will solve a different one.
We are given triangle lattice of side n, as shown in the Figure below. A queen on the lattice can move along a straight line parallel to any of the sides of the triangle. How many queens can be placed on the lattice at most, without any two queens attacking each other?

 

一看到这道题，自然反应就是这道题：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1030，这一道题的思路是三维坐标绝对值之和．但是，上面的这一道题是经典的算法实现简单得难以置信，但是原理却是博大精深型的．

有这么一个结论：

4、一边有 n 个圈的正三角形棋盘，

(1)当 n＝3k+1 时，最多可放置(2k+1)个皇后，k＝0，1，2，3，……

(2)当 n＝3k+2 时，最多可放置(2k+1)个皇后，k＝0，1，2，3，……

(3)当 n＝3k+3 时，最多可放置(2k+2)个皇后，k＝0，1，2，3，……

具体的证明过程见这篇论文：三角形八皇后问题证明

知道上面的结论之后，代码会简洁到难以置信！

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LLong;
int main()
{
	LLong n;
	while(cin>>n && n!=0)
	{
		if( n%3== 0)
			cout<<2*(n/3)<<endl;
		else
			cout<<2*(n/3)+1<<endl;
	}
	return 0;
}