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最大熵的两个证明

《A maximum entropy approach to natural language processing》这篇论文是最大熵的经典论文。但是这篇论文仍然没有把最大熵模型完全推导出来，有些地方还是直接给的结论，这里补充两个论文中没有给出证明的地方，1、p（y|x）的推导，2、最大熵全局唯一极值的证明。内容来自清华大学最大熵的ppt

 

第一个问题：

 

 

L拉格朗日法把有约束的最优化问题转化为无约束问题的式子，对应论文式子（7）

最大熵的两个证明_第1张图片

 

求L取得极值时的p(y|x)

 

最大熵的两个证明_第2张图片

 

当导数等于0时，有

 

最大熵的两个证明_第3张图片

 

对于给定x，任意的y，所有P（y|x）的和为1，即

 

最大熵的两个证明_第4张图片

 

令

于是得到论文中的结论：

最大熵的两个证明_第5张图片

 

 

第二个问题：最大熵模型，有全局唯一的极值，不必担心收敛于一个次优解

 

一阶导数：

最大熵的两个证明_第6张图片

 

二阶导数：

可见，一阶导数存在等于0的情况，二阶导数恒小于0，最大熵模型，有全局唯一的极值，不必担心收敛于一个次优解

 

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