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格拉姆－施密特正交化Gram-Schimidt

格拉姆－施密特正交化

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在线性代数中，如果内积空间上的一组矢量能够张成一个子空间，那么这一组矢量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。

这种正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）。

在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。

目录

[隐藏]
  • 1 记法
  • 2 基本思想
  • 3 算法
  • 4 不同的形式
  • 5 参见

[编辑] 记法

  • ：维数为n 的内积空间
  • ：中的元素，可以是矢量、函数，等等
  • ：与的内积
  • ：、……张成的子空间
  • ：在上的投影

[编辑] 基本思想

图1 在 上投影，构造 上的正交基

Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。

设。是上的维子空间，其标准正交基为，且不在上。由投影原理知，与其在上的投影之差


是正交于子空间的，亦即正交于的正交基。因此只要将单位化，即

那么就是在上扩展的子空间的标准正交基。

根据上述分析，对于矢量组张成的空间 ()，只要从其中一个矢量（不妨设为）所张成的一维子空间开始（注意到就是的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到 的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。

[编辑] 算法

首先需要确定已有基底矢量的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下：

   
   
   
   
   

这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。


例

考察如下欧几里得空间Rn中矢量的集合，欧氏空间上内积的定义为<a, b> = bTa：

下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一组正交矢量：

下面验证矢量与的正交性：

将这些矢量单位化：

于是就是 的一组标准正交基底。

[编辑] 不同的形式

随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。

例如，在实矢量空间上，内积定义为：

在复矢量空间上，内积定义为：

函数之间的内积则定义为：

与之对应，相应的Gram－Schmidt正交化就具有不同的形式。

[编辑] 参见

  • 内积空间
  • 内积
  • 正交
  • QR分解
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